Номер 15.14, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 15. Неравенства с двумя переменными - номер 15.14, страница 155.

Условие.

15.14. Постройте график неравенства:

1) $x^2(y - x^2) > 0;$

2) $\frac{x^2 + y^2 - 1}{(x^2 - y^2)^2} > 0.$

Решение.

1) $x^2(y - x^2) > 0$

Произведение двух множителей больше нуля, если оба множителя одного знака (оба положительны или оба отрицательны). Рассмотрим каждый множитель.

Первый множитель, $x^2$, всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Поскольку неравенство строгое ($>0$), то произведение не может быть равно нулю. Следовательно, $x^2 \neq 0$, что означает $x \neq 0$. При любом $x \neq 0$ множитель $x^2$ будет строго положителен ($x^2 > 0$).

Так как первый множитель положителен, для того чтобы произведение было положительным, второй множитель также должен быть положителен: $y - x^2 > 0$, или $y > x^2$.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе условий: $\begin{cases} y > x^2 \\ x \neq 0 \end{cases}$

Для построения графика этого неравенства необходимо:

1. Построить параболу $y = x^2$. Эта кривая является границей области. Поскольку неравенство строгое ($>$), точки на самой параболе не являются решением, и её следует изобразить пунктирной линией.
2. Неравенство $y > x^2$ определяет область, расположенную выше (внутри) параболы $y = x^2$.
3. Условие $x \neq 0$ означает, что из решения нужно исключить все точки, лежащие на оси ординат (оси Oy).

Ответ: Графиком неравенства является множество точек координатной плоскости, расположенных выше параболы $y = x^2$, за исключением точек, лежащих на самой параболе и на оси ординат.

2) $\frac{x^2 + y^2 - 1}{(x^2 - y^2)^2} > 0$

Дробь больше нуля, когда её числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Рассмотрим знаменатель дроби: $(x^2 - y^2)^2$.

Знаменатель является квадратом выражения, поэтому он всегда неотрицателен: $(x^2 - y^2)^2 \ge 0$. По определению дроби, знаменатель не может быть равен нулю. Следовательно, $(x^2 - y^2)^2 \neq 0$, что равносильно $x^2 - y^2 \neq 0$, или $x^2 \neq y^2$. Это, в свою очередь, означает, что $y \neq x$ и $y \neq -x$.

При выполнении этого условия знаменатель $(x^2 - y^2)^2$ всегда будет строго положителен.

Поскольку знаменатель положителен, для того чтобы вся дробь была положительной, числитель также должен быть положителен: $x^2 + y^2 - 1 > 0$, или $x^2 + y^2 > 1$.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе условий: $\begin{cases} x^2 + y^2 > 1 \\ y \neq x \\ y \neq -x \end{cases}$

Для построения графика этого неравенства необходимо:

1. Построить окружность $x^2 + y^2 = 1$. Это окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом 1. Так как неравенство строгое ($>$), точки на самой окружности не являются решением, и её следует изобразить пунктирной линией.
2. Неравенство $x^2 + y^2 > 1$ определяет область, расположенную вне этой окружности.
3. Условия $y \neq x$ и $y \neq -x$ означают, что из решения нужно исключить все точки, лежащие на прямых $y = x$ и $y = -x$ (биссектрисы координатных углов). Эти прямые также следует изобразить пунктирными линиями.

Ответ: Графиком неравенства является множество точек координатной плоскости, расположенных вне окружности $x^2 + y^2 = 1$, за исключением точек, лежащих на прямых $y=x$ и $y=-x$.