Номер 15.15, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 15. Неравенства с двумя переменными - номер 15.15, страница 155.

Условие.

15.15. При каких значениях параметра $a$ множеством решений неравенства $2|x+1| + |a-4| \le 2$ является промежуток вида $[m; n]$, длина которого не меньше 1?

Решение.

Преобразуем исходное неравенство $2|x+1| + |a-4| \le 2$. Выразим член, содержащий переменную $x$:

$2|x+1| \le 2 - |a-4|$

$|x+1| \le \frac{2 - |a-4|}{2}$

Для того чтобы у неравенства существовало множество решений в виде промежутка, правая часть этого неравенства должна быть неотрицательной, так как модуль в левой части всегда неотрицателен. Таким образом, должно выполняться условие:

$\frac{2 - |a-4|}{2} \ge 0$

$2 - |a-4| \ge 0$

$|a-4| \le 2$

Это неравенство равносильно системе:

$-2 \le a-4 \le 2$

Прибавив 4 ко всем частям, получаем:

$2 \le a \le 6$

При выполнении этого условия, решение неравенства $|x+1| \le \frac{2 - |a-4|}{2}$ можно записать в виде:

$-\frac{2 - |a-4|}{2} \le x+1 \le \frac{2 - |a-4|}{2}$

Вычтем 1 из всех частей двойного неравенства:

$-1 - \frac{2 - |a-4|}{2} \le x \le -1 + \frac{2 - |a-4|}{2}$

Это и есть промежуток $[m; n]$, где $m = -1 - \frac{2 - |a-4|}{2}$ и $n = -1 + \frac{2 - |a-4|}{2}$.

Найдем длину этого промежутка $L = n - m$:

$L = \left(-1 + \frac{2 - |a-4|}{2}\right) - \left(-1 - \frac{2 - |a-4|}{2}\right) = 2 \cdot \frac{2 - |a-4|}{2} = 2 - |a-4|$

По условию задачи, длина этого промежутка не меньше 1, то есть $L \ge 1$.

$2 - |a-4| \ge 1$

$1 \ge |a-4|$

$|a-4| \le 1$

Решим это неравенство:

$-1 \le a-4 \le 1$

Прибавим 4 ко всем частям:

$3 \le a \le 5$

Полученный промежуток $a \in [3; 5]$ удовлетворяет ранее найденному условию $a \in [2; 6]$, при котором множество решений непусто. Следовательно, это и есть искомые значения параметра $a$.

Ответ: $a \in [3; 5]$.