Номер 15.8, страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 15. Неравенства с двумя переменными - номер 15.8, страница 154.

Условие.

15.8. Постройте график неравенства:

1) $y \le -x^2 - 3x;$

2) $(x + 2)^2 + y^2 \le 4;$

3) $x^2 + y^2 - 4y > 0;$

4) $xy \le 6;$

5) $xy > -12;$

6) $(x + y)(x - y - 1) > 0.$

Решение.

1) $y \le -x^2 - 3x$

Графиком данного неравенства является область на координатной плоскости. Сначала построим границу этой области — график функции $y = -x^2 - 3x$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$).

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2(-1)} = -\frac{3}{2} = -1.5$
$y_0 = -(-1.5)^2 - 3(-1.5) = -2.25 + 4.5 = 2.25$
Вершина находится в точке $(-1.5, 2.25)$.

Найдем точки пересечения с осью $Ox$, решив уравнение $-x^2 - 3x = 0$:
$-x(x + 3) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = -3$.
Точки пересечения с осью $Ox$: $(0, 0)$ и $(-3, 0)$.

Так как неравенство нестрогое ($y \le ...$), границу (параболу) рисуем сплошной линией.

Неравенство $y \le -x^2 - 3x$ означает, что для каждого значения $x$ мы должны выбрать все точки, ординаты которых ($y$) меньше или равны ординате точки на параболе. Следовательно, решением является область, расположенная под параболой, включая саму параболу.

Ответ: Графиком неравенства является область, ограниченная сверху параболой $y = -x^2 - 3x$ и включающая эту параболу.

2) $(x + 2)^2 + y^2 \le 4$

Рассмотрим граничное уравнение $(x + 2)^2 + y^2 = 4$. Это уравнение окружности вида $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — центр окружности, а $R$ — ее радиус.

В нашем случае центр окружности находится в точке $(-2, 0)$, а радиус $R = \sqrt{4} = 2$.

Так как неравенство нестрогое ($\le$), границу (окружность) рисуем сплошной линией.

Неравенство $(x + 2)^2 + y^2 \le 4$ означает, что расстояние от любой точки $(x, y)$ до центра $(-2, 0)$ должно быть меньше или равно радиусу 2. Это все точки, которые лежат внутри окружности, а также на самой окружности.

Ответ: Графиком неравенства является круг с центром в точке $(-2, 0)$ и радиусом 2.

3) $x^2 + y^2 - 4y > 0$

Сначала преобразуем неравенство, выделив полный квадрат для переменной $y$:
$x^2 + (y^2 - 4y + 4) - 4 > 0$
$x^2 + (y - 2)^2 > 4$

Граничным является уравнение $x^2 + (y - 2)^2 = 4$. Это уравнение окружности с центром в точке $(0, 2)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.

Так как неравенство строгое ($>$), границу (окружность) рисуем пунктирной линией, чтобы показать, что точки на самой окружности не являются частью решения.

Неравенство $x^2 + (y - 2)^2 > 4$ означает, что расстояние от любой точки $(x, y)$ до центра $(0, 2)$ должно быть строго больше радиуса 2. Это все точки, которые лежат вне окружности.

Ответ: Графиком неравенства является вся координатная плоскость, за исключением круга с центром в точке $(0, 2)$ и радиусом 2. Сама окружность в решение не входит.

4) $xy \le 6$

Граничным является уравнение $xy = 6$, или $y = \frac{6}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами.

Так как неравенство нестрогое ($\le$), ветви гиперболы рисуем сплошной линией.

Для определения области решения рассмотрим разные случаи:
- Если $x > 0$, то $y \le \frac{6}{x}$. Это область под ветвью гиперболы в I четверти.
- Если $x < 0$, то при делении на $x$ знак неравенства меняется: $y \ge \frac{6}{x}$. Это область над ветвью гиперболы в III четверти.
- Если $x = 0$, неравенство принимает вид $0 \le 6$, что верно. Значит, вся ось $Oy$ является частью решения.

Можно также проверить точку $(0, 0)$: $0 \cdot 0 \le 6$, то есть $0 \le 6$. Это верное неравенство, значит, область, содержащая начало координат, является решением.

Ответ: Графиком неравенства является область, расположенная между ветвями гиперболы $y = \frac{6}{x}$, включая сами ветви и ось $Oy$.

5) $xy > -12$

Граничным является уравнение $xy = -12$, или $y = -\frac{12}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

Так как неравенство строгое ($>$), ветви гиперболы рисуем пунктирной линией.

Проверим точку $(0, 0)$: $0 \cdot 0 > -12$, то есть $0 > -12$. Это верное неравенство, значит, область, содержащая начало координат, является решением. Эта область находится между двумя ветвями гиперболы.

Рассмотрим случаи:
- Если $x > 0$, то $y > -\frac{12}{x}$. Это область над ветвью гиперболы в IV четверти.
- Если $x < 0$, то $y < -\frac{12}{x}$. Это область под ветвью гиперболы во II четверти.
- Если $x=0$ или $y=0$, неравенство $0 > -12$ верно, значит, оси координат (за исключением точки (0,0), где функция $y = -12/x$ не определена, но исходное неравенство выполняется) также входят в область решения.

Ответ: Графиком неравенства является область, расположенная между ветвями гиперболы $y = -\frac{12}{x}$. Сами ветви гиперболы в решение не входят.

6) $(x + y)(x - y - 1) > 0$

Произведение двух множителей положительно, когда оба множителя одного знака. Рассмотрим две системы неравенств:

Система 1: $\begin{cases} x + y > 0 \\ x - y - 1 > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} y > -x \\ y < x - 1 \end{cases}$

Система 2: $\begin{cases} x + y < 0 \\ x - y - 1 < 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} y < -x \\ y > x - 1 \end{cases}$

Границами областей являются прямые $y = -x$ и $y = x - 1$. Так как неравенства строгие, обе прямые рисуем пунктирной линией. Эти прямые пересекаются и делят плоскость на четыре области (вертикальные углы).

- Решение первой системы — это область, которая находится одновременно выше прямой $y = -x$ и ниже прямой $y = x - 1$.

- Решение второй системы — это область, которая находится одновременно ниже прямой $y = -x$ и выше прямой $y = x - 1$.

Общее решение исходного неравенства — это объединение областей, полученных при решении обеих систем.

Ответ: Графиком неравенства является объединение двух областей, представляющих собой пару вертикальных углов, образованных пересечением прямых $y = -x$ и $y = x - 1$. Сами прямые в решение не входят.