Номер 15.6, страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 15. Неравенства с двумя переменными - номер 15.6, страница 154.

Условие.

15.6. Графиками каких неравенств являются полуплоскости:

1) $x \geq 2;$

2) $\frac{x+y}{x^2+y^2} \geq 0;$

3) $\frac{(x-y)^2}{x-y} \geq 0;$

4) $\frac{y-x+1}{x^2+y^2} \geq 0;$

5) $\sqrt{x} \geq -y^2;$

6) $|x| \geq x?$

Решение.

Полуплоскость — это множество точек плоскости, лежащих по одну сторону от некоторой прямой. Неравенства, графиками которых являются полуплоскости, обычно являются линейными неравенствами вида $ax + by + c \ge 0$ (или со знаками $>, <, \le$). Проанализируем каждое из предложенных неравенств.

1) $x \ge 2$

Это линейное неравенство. Графиком уравнения $x=2$ является вертикальная прямая. Неравенство $x \ge 2$ задает множество всех точек на координатной плоскости, абсцисса которых больше или равна 2. Это замкнутая полуплоскость, расположенная справа от прямой $x=2$, включая саму прямую.

Ответ: является полуплоскостью.

2) $\frac{x + y}{x^2 + y^2} \ge 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства определяется условием $x^2 + y^2 \neq 0$, что означает $(x, y) \neq (0, 0)$. То есть, начало координат исключается из множества решений.Поскольку знаменатель $x^2 + y^2 > 0$ для всех $(x, y)$ из ОДЗ, знак дроби совпадает со знаком числителя. Таким образом, данное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x + y \ge 0 \\ (x, y) \neq (0, 0) \end{cases}$

Неравенство $x + y \ge 0$ (или $y \ge -x$) задает замкнутую полуплоскость, ограниченную прямой $y = -x$. Однако из этой полуплоскости исключается точка $(0, 0)$, которая лежит на ее границе. Множество решений представляет собой полуплоскость с "выколотой" точкой на границе, следовательно, оно не является полуплоскостью в строгом определении.

Ответ: не является полуплоскостью.

3) $\frac{(x-y)^2}{x-y} \ge 0$

ОДЗ неравенства: $x - y \neq 0$, то есть $y \neq x$. На ОДЗ можно сократить дробь:$x - y \ge 0$. Учитывая ОДЗ ($x - y \neq 0$), получаем строгое неравенство:$x - y > 0$, или $y < x$. Это неравенство задает открытую полуплоскость, расположенную ниже прямой $y=x$ (сама прямая не включается).

Ответ: является полуплоскостью.

4) $\frac{y - x + 1}{x^2 + y^2} \ge 0$

ОДЗ: $x^2 + y^2 \neq 0$, то есть $(x, y) \neq (0, 0)$. Так как знаменатель $x^2 + y^2 > 0$ на ОДЗ, неравенство равносильно системе:$\begin{cases} y - x + 1 \ge 0 \\ (x, y) \neq (0, 0) \end{cases}$

Неравенство $y - x + 1 \ge 0$ (или $y \ge x - 1$) задает замкнутую полуплоскость. Проверим, принадлежит ли точка $(0, 0)$ этой полуплоскости: $0 - 0 + 1 \ge 0$ ( $1 \ge 0$ ), что верно. Значит, точка $(0, 0)$ является внутренней точкой для полуплоскости $y \ge x - 1$. Поскольку эта точка исключена из множества решений исходного неравенства, график представляет собой полуплоскость с "выколотой" внутренней точкой. Такое множество не является полуплоскостью.

Ответ: не является полуплоскостью.

5) $\sqrt{x} \ge -y^2$

ОДЗ: $x \ge 0$. Для всех значений $x$ из ОДЗ левая часть неравенства, $\sqrt{x}$, является неотрицательной: $\sqrt{x} \ge 0$. Правая часть неравенства, $-y^2$, является неположительной для любого действительного значения $y$: $-y^2 \le 0$. Таким образом, неравенство $\sqrt{x} \ge -y^2$ (неотрицательное число всегда больше или равно неположительному) выполняется для всех пар $(x, y)$, удовлетворяющих ОДЗ.Следовательно, множество решений неравенства совпадает с его ОДЗ, то есть $x \ge 0$. Это замкнутая полуплоскость, расположенная справа от оси $Oy$ (прямой $x=0$), включая саму ось.

Ответ: является полуплоскостью.

6) $|x| \ge x$

Рассмотрим два случая.1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Неравенство принимает вид $x \ge x$, что является верным для всех $x \ge 0$.2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Неравенство принимает вид $-x \ge x$, что равносильно $0 \ge 2x$ или $x \le 0$. Это верно для всех $x < 0$. Объединяя оба случая, мы видим, что неравенство $|x| \ge x$ справедливо для любого действительного числа $x$. Поскольку на переменную $y$ не наложено никаких ограничений, решением является вся координатная плоскость.Вся плоскость не является полуплоскостью, так как полуплоскость — это одна из двух областей, на которые прямая делит плоскость.

Ответ: не является полуплоскостью.

Итого, графиками неравенств 1, 3 и 5 являются полуплоскости.