Номер 14.31, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.31, страница 145.

Условие.

14.31. Сколько решений в зависимости от значения параметра $a$ имеет уравнение $|x + 5| + |x - 3| = a$?

Решение.

Для решения уравнения $|x + 5| + |x - 3| = a$ с параметром $a$ раскроем модули. Выражения под модулями обращаются в ноль при $x = -5$ и $x = 3$. Эти точки делят числовую ось на три промежутка, на каждом из которых мы решим уравнение.

1. Рассмотрим промежуток $x < -5$.
На этом промежутке оба подмодульных выражения отрицательны: $x + 5 < 0$ и $x - 3 < 0$.
Поэтому $|x + 5| = -(x + 5)$ и $|x - 3| = -(x - 3)$.
Уравнение принимает вид:
$-(x + 5) - (x - 3) = a$
$-x - 5 - x + 3 = a$
$-2x - 2 = a$
$2x = -a - 2$
$x = \frac{-a - 2}{2}$.
Найденный корень должен принадлежать рассматриваемому промежутку $x < -5$. Решим неравенство:
$\frac{-a - 2}{2} < -5$
$-a - 2 < -10$
$-a < -8$
$a > 8$.
Следовательно, при $a > 8$ на данном промежутке есть один корень.

2. Рассмотрим промежуток $-5 \le x \le 3$.
На этом промежутке $x + 5 \ge 0$, а $x - 3 \le 0$.
Поэтому $|x + 5| = x + 5$ и $|x - 3| = -(x - 3)$.
Уравнение принимает вид:
$(x + 5) - (x - 3) = a$
$x + 5 - x + 3 = a$
$8 = a$.
При $a = 8$ уравнение превращается в тождество $8 = 8$, которое верно для любого $x$ из промежутка $[-5; 3]$. Значит, при $a = 8$ уравнение имеет бесконечно много решений.
При $a \ne 8$ уравнение на этом промежутке решений не имеет.

3. Рассмотрим промежуток $x > 3$.
На этом промежутке оба подмодульных выражения положительны: $x + 5 > 0$ и $x - 3 > 0$.
Поэтому $|x + 5| = x + 5$ и $|x - 3| = x - 3$.
Уравнение принимает вид:
$(x + 5) + (x - 3) = a$
$2x + 2 = a$
$x = \frac{a - 2}{2}$.
Найденный корень должен принадлежать рассматриваемому промежутку $x > 3$. Решим неравенство:
$\frac{a - 2}{2} > 3$
$a - 2 > 6$
$a > 8$.
Следовательно, при $a > 8$ на данном промежутке есть еще один корень.

Подведем итоги, объединив результаты по всем трем промежуткам:

• Если $a < 8$, то ни на одном из промежутков решений нет.
• Если $a = 8$, то решения существуют только на втором промежутке, и их бесконечно много (все $x \in [-5; 3]$).
• Если $a > 8$, то на первом промежутке есть один корень $x_1 = \frac{-a - 2}{2}$ и на третьем промежутке есть один корень $x_2 = \frac{a - 2}{2}$. Итого два различных корня.

Ответ: если $a < 8$, уравнение не имеет решений; если $a = 8$, уравнение имеет бесконечно много решений; если $a > 8$, уравнение имеет два решения.