Номер 14.26, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.26, страница 145.

Условие.

14.26. В 7 ч утра от первого причала отплыли две лодки. Сначала они плыли 8 км по озеру, а затем 5 км по течению реки до второго причала. Первая лодка приплыла в место назначения не позже 9 ч 50 мин, а вторая — не раньше 10 ч 40 мин того же дня. Чему равна скорость каждой лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а скорость второй лодки в стоячей воде составляет 75 % скорости первой лодки в стоячей воде?

Решение.

1. Введение переменных и составление выражений для времени

Пусть $v_1$ км/ч — скорость первой лодки в стоячей воде. Согласно условию, скорость второй лодки в стоячей воде составляет 75% от скорости первой, то есть $v_2 = 0.75 \cdot v_1 = \frac{3}{4}v_1$ км/ч. Скорость течения реки равна $2$ км/ч.

Лодки проплыли 8 км по озеру, где течение отсутствует, и 5 км по течению реки. Скорость движения по течению равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения.

Следовательно, общее время движения первой лодки $T_1$ составляет:

$T_1 = \frac{8}{v_1} + \frac{5}{v_1 + 2}$ ч.

Общее время движения второй лодки $T_2$ составляет:

$T_2 = \frac{8}{v_2} + \frac{5}{v_2 + 2} = \frac{8}{\frac{3}{4}v_1} + \frac{5}{\frac{3}{4}v_1 + 2} = \frac{32}{3v_1} + \frac{20}{3v_1 + 8}$ ч.

2. Составление системы неравенств на основе времени прибытия

Лодки отплыли в 7:00. Первая лодка прибыла не позже 9:50, значит, её время в пути не превышает $9 \text{ ч } 50 \text{ мин} - 7 \text{ ч } 00 \text{ мин} = 2 \text{ ч } 50 \text{ мин}$. Переведем это время в часы: $2 \frac{50}{60} = 2 \frac{5}{6} = \frac{17}{6}$ ч. Получаем первое неравенство:

$\frac{8}{v_1} + \frac{5}{v_1 + 2} \le \frac{17}{6}$

Вторая лодка прибыла не раньше 10:40, значит, её время в пути не менее $10 \text{ ч } 40 \text{ мин} - 7 \text{ ч } 00 \text{ мин} = 3 \text{ ч } 40 \text{ мин}$. Переведем это время в часы: $3 \frac{40}{60} = 3 \frac{2}{3} = \frac{11}{3}$ ч. Получаем второе неравенство:

$\frac{32}{3v_1} + \frac{20}{3v_1 + 8} \ge \frac{11}{3}$

3. Решение системы неравенств

Решим первое неравенство, учитывая, что по физическому смыслу скорость $v_1 > 0$:

$\frac{8(v_1+2) + 5v_1}{v_1(v_1+2)} \le \frac{17}{6} \implies \frac{13v_1 + 16}{v_1^2 + 2v_1} \le \frac{17}{6}$

$6(13v_1 + 16) \le 17(v_1^2 + 2v_1)$

$78v_1 + 96 \le 17v_1^2 + 34v_1$

$17v_1^2 - 44v_1 - 96 \ge 0$

Найдём корни соответствующего квадратного уравнения $17v_1^2 - 44v_1 - 96 = 0$. Дискриминант $D = (-44)^2 - 4 \cdot 17 \cdot (-96) = 1936 + 6528 = 8464 = 92^2$. Корни уравнения: $v_{1,1} = \frac{44 + 92}{34} = 4$ и $v_{1,2} = \frac{44 - 92}{34} < 0$. Так как ветви параболы направлены вверх и $v_1>0$, решением неравенства является $v_1 \ge 4$.

Решим второе неравенство. Для удобства умножим его на 3:

$\frac{32}{v_1} + \frac{60}{3v_1 + 8} \ge 11$

$\frac{32(3v_1 + 8) + 60v_1}{v_1(3v_1 + 8)} \ge 11 \implies \frac{156v_1 + 256}{3v_1^2 + 8v_1} \ge 11$

$156v_1 + 256 \ge 11(3v_1^2 + 8v_1)$

$156v_1 + 256 \ge 33v_1^2 + 88v_1$

$33v_1^2 - 68v_1 - 256 \le 0$

Найдём корни уравнения $33v_1^2 - 68v_1 - 256 = 0$. Дискриминант $D = (-68)^2 - 4 \cdot 33 \cdot (-256) = 4624 + 33792 = 38416 = 196^2$. Корни уравнения: $v_{1,3} = \frac{68 + 196}{66} = 4$ и $v_{1,4} = \frac{68 - 196}{66} < 0$. Так как ветви параболы направлены вверх и $v_1>0$, решением неравенства является $0 < v_1 \le 4$.

Объединяя решения обоих неравенств, получаем систему: $\begin{cases} v_1 \ge 4 \\ 0 < v_1 \le 4 \end{cases}$. Единственное значение, удовлетворяющее системе, — это $v_1 = 4$.

4. Определение скоростей лодок

Итак, скорость первой лодки в стоячей воде равна $v_1 = 4$ км/ч.

Скорость второй лодки в стоячей воде равна $v_2 = \frac{3}{4}v_1 = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3$ км/ч.

Ответ: скорость первой лодки в стоячей воде равна 4 км/ч, скорость второй лодки в стоячей воде — 3 км/ч.