Номер 14.23, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.23, страница 144.

Условие.

14.23. Пристань A находится выше по течению реки, чем пристань B. От пристаней A и B одновременно навстречу друг другу начали движение плот и моторная лодка. Доплыв до пристани A, лодка немедленно повернула обратно и догнала плот в тот момент времени, когда он проплыл $\frac{2}{3}$ расстояния между пристанями A и B. Найдите время, которое тратит плот на путь от пристани A до пристани B, если известно, что моторная лодка проплывает от пристани B до пристани A и обратно за 3 ч.

Решение.

Обозначим переменные:

• $S$ – расстояние между пристанями А и В.
• $v_л$ – собственная скорость моторной лодки (в стоячей воде).
• $v_р$ – скорость течения реки. Эта же скорость является скоростью плота.

Пристань А находится выше по течению, значит, движение от А к В происходит по течению, а от В к А – против течения.

Скорость лодки при движении против течения (из В в А) равна $v_л - v_р$.

Скорость лодки и плота при движении по течению (из А в В) равны соответственно $v_л + v_р$ и $v_р$.

Основная задача — найти время, которое плот тратит на весь путь от А до В. Обозначим это время как $T_{плота}$. Оно равно $T_{плота} = \frac{S}{v_р}$.

Рассмотрим движение плота и лодки до момента их встречи. Пусть $t$ – время с начала движения до момента, когда лодка догнала плот.

За это время $t$ плот, двигаясь от А, проплыл расстояние $\frac{2}{3}S$. Поскольку плот двигался со скоростью $v_р$, можно составить уравнение:

$\frac{2}{3}S = v_р \cdot t$

Отсюда выразим время $t$:

$t = \frac{2S}{3v_р}$

Теперь рассмотрим путь, который проделала лодка за то же самое время $t$.

1. Сначала лодка плыла от пристани B до пристани A (против течения). Расстояние равно $S$, скорость $v_л - v_р$. Время, затраченное на этот участок: $t_1 = \frac{S}{v_л - v_р}$.
2. Затем лодка повернула обратно и поплыла от пристани A (по течению), чтобы догнать плот. Точка встречи находится на расстоянии $\frac{2}{3}S$ от пристани A. Расстояние, которое лодка проплыла на этом втором участке, равно $\frac{2}{3}S$, а её скорость была $v_л + v_р$. Время, затраченное на этот участок: $t_2 = \frac{\frac{2}{3}S}{v_л + v_р} = \frac{2S}{3(v_л + v_р)}$.

Общее время движения лодки $t$ равно сумме $t_1$ и $t_2$: $t = t_1 + t_2 = \frac{S}{v_л - v_р} + \frac{2S}{3(v_л + v_р)}$.

Теперь мы можем приравнять два выражения для времени $t$, полученные из анализа движения плота и лодки:

$\frac{2S}{3v_р} = \frac{S}{v_л - v_р} + \frac{2S}{3(v_л + v_р)}$

Разделим обе части уравнения на $S$ (так как расстояние $S > 0$):

$\frac{2}{3v_р} = \frac{1}{v_л - v_р} + \frac{2}{3(v_л + v_р)}$

Это уравнение связывает скорости $v_л$ и $v_р$. Умножим обе части на $3v_р(v_л - v_р)(v_л + v_р)$, чтобы избавиться от знаменателей. Проще будет сначала умножить на $3(v_л + v_р)(v_л - v_р)$:

$\frac{2 \cdot (v_л^2 - v_р^2)}{v_р} = 3(v_л + v_р) + 2(v_л - v_р)$

$2(v_л^2 - v_р^2) = v_р(3v_л + 3v_р + 2v_л - 2v_р)$

$2v_л^2 - 2v_р^2 = v_р(5v_л + v_р)$

$2v_л^2 - 2v_р^2 = 5v_лv_р + v_р^2$

$2v_л^2 - 5v_лv_р - 3v_р^2 = 0$

Разделим уравнение на $v_р^2$ (т.к. $v_р \neq 0$) и введем замену $k = \frac{v_л}{v_р}$:

$2(\frac{v_л}{v_р})^2 - 5(\frac{v_л}{v_р}) - 3 = 0$

$2k^2 - 5k - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $k$:

$k = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}$

Получаем два корня: $k_1 = \frac{5+7}{4} = 3$ и $k_2 = \frac{5-7}{4} = -0.5$.

Поскольку $k$ представляет собой отношение положительных скоростей, оно должно быть положительным. Также, чтобы лодка могла плыть против течения, её собственная скорость должна быть больше скорости течения ($v_л > v_р$), что означает $k > 1$. Этим условиям удовлетворяет только корень $k = 3$.

Таким образом, мы нашли, что собственная скорость лодки в 3 раза больше скорости течения реки: $v_л = 3v_р$.

Теперь воспользуемся вторым условием задачи: моторная лодка проплывает от пристани B до пристани A и обратно (т.е. в B) за 3 часа.

Время движения из B в A (против течения) равно $\frac{S}{v_л - v_р}$.

Время движения из A в B (по течению) равно $\frac{S}{v_л + v_р}$.

Суммарное время составляет 3 часа:

$\frac{S}{v_л - v_р} + \frac{S}{v_л + v_р} = 3$

Подставим в это уравнение найденное соотношение $v_л = 3v_р$:

$\frac{S}{3v_р - v_р} + \frac{S}{3v_р + v_р} = 3$

$\frac{S}{2v_р} + \frac{S}{4v_р} = 3$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2S}{4v_р} + \frac{S}{4v_р} = 3$

$\frac{3S}{4v_р} = 3$

Мы ищем время $T_{плота} = \frac{S}{v_р}$. Выразим его из полученного уравнения:

$\frac{3}{4} \cdot (\frac{S}{v_р}) = 3$

$\frac{3}{4} \cdot T_{плота} = 3$

$T_{плота} = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4$

Таким образом, плот тратит на путь от А до В 4 часа.

Ответ: 4 ч.