Номер 14.16, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.16, страница 143.

Условие.

14.16. Два тракториста, работая вместе, могут вспахать поле за 6 ч. Если первый тракторист проработает самостоятельно 4 ч, а затем его сменит второй, то этот тракторист закончит вспашку за 9 ч. За какое время, работая самостоятельно, может вспахать поле каждый тракторист?

Решение.

Пусть время, за которое первый тракторист может вспахать все поле самостоятельно, равно $x$ часов, а время, за которое второй тракторист может вспахать поле самостоятельно, равно $y$ часов. Примем всю работу по вспашке поля за 1.

Тогда производительность первого тракториста (часть поля, которую он вспахивает за 1 час) равна $\frac{1}{x}$, а производительность второго — $\frac{1}{y}$.

Согласно первому условию, работая вместе, они вспахивают поле за 6 часов. Их совместная производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. За 6 часов они выполняют всю работу, следовательно:

$6 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1$

Отсюда получаем первое уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$

Согласно второму условию, первый тракторист работает 4 часа, а затем второй работает 9 часов, и вместе они вспахивают все поле. За 4 часа первый тракторист выполнит часть работы, равную $4 \cdot \frac{1}{x}$. За 9 часов второй тракторист выполнит часть работы, равную $9 \cdot \frac{1}{y}$. Сумма этих частей равна всей работе:

$\frac{4}{x} + \frac{9}{y} = 1$

Получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\ \frac{4}{x} + \frac{9}{y} = 1\end{cases}$

Для решения системы можно использовать метод подстановки. Из первого уравнения выразим $\frac{1}{x}$:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{6} - \frac{1}{y}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$4 \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{y} \right) + \frac{9}{y} = 1$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$\frac{4}{6} - \frac{4}{y} + \frac{9}{y} = 1$

$\frac{2}{3} + \frac{5}{y} = 1$

$\frac{5}{y} = 1 - \frac{2}{3}$

$\frac{5}{y} = \frac{1}{3}$

$y = 15$

Таким образом, второму трактористу для вспашки поля требуется 15 часов.

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $\frac{1}{x}$:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{6} - \frac{1}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$\frac{1}{x} = \frac{5}{30} - \frac{2}{30}$

$\frac{1}{x} = \frac{3}{30}$

$\frac{1}{x} = \frac{1}{10}$

$x = 10$

Следовательно, первому трактористу для вспашки поля требуется 10 часов.

Ответ: первый тракторист может вспахать поле за 10 часов, а второй тракторист — за 15 часов.