Номер 14.13, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.13, страница 142.

Условие.

14.13. Расстояние между пристанями A и B равно 28 км. Отчалив от пристани A в направлении пристани B, через 2 ч после начала движения катер встретил плот, отправленный от пристани B по течению реки за 2 ч до начала движения катера. Найдите скорость течения реки и собственную скорость катера, если катер проходит расстояние от пристани A до пристани B и возвращается обратно за 4 ч 48 мин.

Решение.

Для решения задачи введем переменные:

• Пусть $v_k$ — собственная скорость катера в км/ч.
• Пусть $v_т$ — скорость течения реки в км/ч.

Расстояние между пристанями А и В составляет $S = 28$ км.

1. Анализ встречи катера и плота.

Плот движется со скоростью течения реки, то есть его скорость равна $v_т$. В условии сказано, что плот отправлен от пристани В по течению реки. Это означает, что направление течения реки — от пристани В к пристани А.

Катер движется от А к В, то есть против течения реки. Его скорость против течения равна $v_k - v_т$. Скорость катера по течению равна $v_k + v_т$.

Катер вышел из А и встретил плот через 2 часа. Плот вышел из В на 2 часа раньше катера. Следовательно, к моменту встречи общее время движения плота составило $2 + 2 = 4$ часа.

За 2 часа катер прошел расстояние $S_k = 2 \cdot (v_k - v_т)$ км.

За 4 часа плот прошел расстояние $S_п = 4 \cdot v_т$ км.

Так как они двигались навстречу друг другу от разных пристаней, сумма пройденных ими расстояний равна расстоянию между пристанями:

$S_k + S_п = S$

$2(v_k - v_т) + 4v_т = 28$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$2v_k - 2v_т + 4v_т = 28$

$2v_k + 2v_т = 28$

Разделим обе части уравнения на 2, получив первое уравнение системы:

$v_k + v_т = 14$

2. Анализ движения катера туда и обратно.

Катер проходит расстояние от А до В и возвращается обратно за 4 часа 48 минут. Переведем это время в часы:

$4 \text{ ч } 48 \text{ мин} = 4 + \frac{48}{60} \text{ ч} = 4 + \frac{4}{5} \text{ ч} = 4.8 \text{ ч}$

Время, затраченное на путь от А до В (против течения), равно $t_1 = \frac{S}{v_k - v_т} = \frac{28}{v_k - v_т}$.

Время, затраченное на обратный путь от В до А (по течению), равно $t_2 = \frac{S}{v_k + v_т} = \frac{28}{v_k + v_т}$.

Суммарное время равно 4.8 часа:

$t_1 + t_2 = 4.8$

$\frac{28}{v_k - v_т} + \frac{28}{v_k + v_т} = 4.8$

Это второе уравнение системы.

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} v_k + v_т = 14 \\ \frac{28}{v_k - v_т} + \frac{28}{v_k + v_т} = 4.8 \end{cases}$

Подставим значение $v_k + v_т = 14$ из первого уравнения во второе:

$\frac{28}{v_k - v_т} + \frac{28}{14} = 4.8$

$\frac{28}{v_k - v_т} + 2 = 4.8$

$\frac{28}{v_k - v_т} = 4.8 - 2$

$\frac{28}{v_k - v_т} = 2.8$

Отсюда находим скорость катера против течения:

$v_k - v_т = \frac{28}{2.8} = 10$

Теперь у нас есть простая система линейных уравнений:

$\begin{cases} v_k + v_т = 14 \\ v_k - v_т = 10 \end{cases}$

Сложим два уравнения, чтобы найти $v_k$:

$(v_k + v_т) + (v_k - v_т) = 14 + 10$

$2v_k = 24$

$v_k = 12$ км/ч.

Подставим найденное значение $v_k$ в первое уравнение ($v_k + v_т = 14$), чтобы найти $v_т$:

$12 + v_т = 14$

$v_т = 14 - 12$

$v_т = 2$ км/ч.

Найдите скорость течения реки и собственную скорость катера

В результате вычислений мы определили, что скорость течения реки составляет 2 км/ч, а собственная скорость катера — 12 км/ч.

Ответ: Скорость течения реки — 2 км/ч, собственная скорость катера — 12 км/ч.