Номер 14.10, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.10, страница 142.

Условие.

14.10. Два автомобиля выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость первого автомобиля $50 \text{ км/ч}$, а второго — $40 \text{ км/ч}$. Через $0,5 \text{ ч}$ из того же пункта в том же направлении выехал третий автомобиль, который обогнал первый на $1,5 \text{ ч}$ позже, чем второй. Найдите скорость третьего автомобиля.

Решение.

Обозначим скорость третьего автомобиля через $x$ км/ч. Примем за точку отсчета времени момент старта первого и второго автомобилей ($t=0$), а за точку отсчета расстояния – их место старта.

Скорость первого автомобиля $v_1 = 50$ км/ч. Скорость второго автомобиля $v_2 = 40$ км/ч. Уравнение движения первого автомобиля: $S_1(t) = 50t$. Уравнение движения второго автомобиля: $S_2(t) = 40t$. Третий автомобиль выехал через 0,5 часа, поэтому его уравнение движения (для $t \ge 0.5$): $S_3(t) = x(t - 0.5)$.

Найдем момент времени $t_2$, когда третий автомобиль догнал второй. В этот момент их пройденные расстояния равны: $S_3(t_2) = S_2(t_2)$. $x(t_2 - 0.5) = 40t_2$ $xt_2 - 0.5x = 40t_2$ $xt_2 - 40t_2 = 0.5x$ $t_2(x - 40) = 0.5x$ $t_2 = \frac{0.5x}{x - 40}$ Для того чтобы обгон состоялся, скорость третьего автомобиля должна быть больше скорости второго, то есть $x > 40$.

Найдем момент времени $t_1$, когда третий автомобиль догнал первый. В этот момент их пройденные расстояния равны: $S_3(t_1) = S_1(t_1)$. $x(t_1 - 0.5) = 50t_1$ $xt_1 - 0.5x = 50t_1$ $xt_1 - 50t_1 = 0.5x$ $t_1(x - 50) = 0.5x$ $t_1 = \frac{0.5x}{x - 50}$ Для того чтобы обгон состоялся, скорость третьего автомобиля должна быть больше скорости первого, то есть $x > 50$.

По условию задачи, третий автомобиль обогнал первый на 1,5 часа позже, чем второй. Это означает, что разница между моментами времени обгона составляет 1,5 часа: $t_1 - t_2 = 1.5$.

Подставим полученные выражения для $t_1$ и $t_2$ в это уравнение: $\frac{0.5x}{x - 50} - \frac{0.5x}{x - 40} = 1.5$

Решим это уравнение. Вынесем $0.5x$ за скобки: $0.5x \left( \frac{1}{x - 50} - \frac{1}{x - 40} \right) = 1.5$ Приведем дроби в скобках к общему знаменателю: $0.5x \left( \frac{(x - 40) - (x - 50)}{(x - 50)(x - 40)} \right) = 1.5$ $0.5x \left( \frac{x - 40 - x + 50}{x^2 - 40x - 50x + 2000} \right) = 1.5$ $0.5x \left( \frac{10}{x^2 - 90x + 2000} \right) = 1.5$ $\frac{5x}{x^2 - 90x + 2000} = 1.5$

Преобразуем уравнение, умножив обе части на знаменатель (при условии, что $x \neq 50$ и $x \neq 40$): $5x = 1.5(x^2 - 90x + 2000)$ $5x = 1.5x^2 - 135x + 3000$ $1.5x^2 - 140x + 3000 = 0$ Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента: $3x^2 - 280x + 6000 = 0$

Найдем корни полученного квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-280)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6000 = 78400 - 72000 = 6400$ $\sqrt{D} = \sqrt{6400} = 80$ $x_1 = \frac{-(-280) + 80}{2 \cdot 3} = \frac{360}{6} = 60$ $x_2 = \frac{-(-280) - 80}{2 \cdot 3} = \frac{200}{6} = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3}$

Как мы установили ранее, для того чтобы третий автомобиль мог обогнать первый, его скорость должна быть больше 50 км/ч ($x > 50$). Корень $x_2 = 33\frac{1}{3}$ км/ч не удовлетворяет этому условию. Следовательно, единственное решение, которое имеет физический смысл в данной задаче, это $x_1 = 60$ км/ч.

Ответ: 60 км/ч.