Номер 14.8, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.8, страница 142.

Условие.

14.8. Из городов A и B, расстояние между которыми 40 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста, один из которых прибыл в город B через 40 мин, а другой — в город A через 1,5 ч после встречи. Найдите скорость движения каждого велосипедиста.

Решение.

Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость первого велосипедиста, выехавшего из города А, и $v_2$ (км/ч) — скорость второго велосипедиста, выехавшего из города В. Расстояние между городами $S = 40$ км.

Сначала переведем время, которое велосипедисты затратили на оставшийся путь после встречи, в часы. Для первого велосипедиста (который прибыл в B через 40 мин после встречи) это время составляет $t_1 = 40$ мин = $\frac{40}{60}$ ч = $\frac{2}{3}$ ч. Для второго велосипедиста (который прибыл в A через 1,5 ч после встречи) это время составляет $t_2 = 1,5$ ч = $\frac{3}{2}$ ч.

Пусть велосипедисты встретились через $t_{встр}$ часов после выезда в точке С. До встречи первый велосипедист проехал расстояние $S_{AC} = v_1 \cdot t_{встр}$. До встречи второй велосипедист проехал расстояние $S_{BC} = v_2 \cdot t_{встр}$.

После встречи первому велосипедисту осталось проехать расстояние $S_{BC}$, и он сделал это за $t_1 = \frac{2}{3}$ часа. Таким образом, $S_{BC} = v_1 \cdot \frac{2}{3}$. Второму велосипедисту после встречи осталось проехать расстояние $S_{AC}$, и он сделал это за $t_2 = \frac{3}{2}$ часа. Таким образом, $S_{AC} = v_2 \cdot \frac{3}{2}$.

Теперь мы можем составить систему уравнений, приравняв выражения для расстояний $S_{AC}$ и $S_{BC}$:
$v_1 \cdot t_{встр} = v_2 \cdot \frac{3}{2}$
$v_2 \cdot t_{встр} = v_1 \cdot \frac{2}{3}$

Выразим из каждого уравнения отношение скоростей $\frac{v_1}{v_2}$:
Из первого уравнения: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{3/2}{t_{встр}} = \frac{3}{2t_{встр}}$.
Из второго уравнения: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{t_{встр}}{2/3} = \frac{3t_{встр}}{2}$.

Приравняем правые части полученных выражений:
$\frac{3}{2t_{встр}} = \frac{3t_{встр}}{2}$
$3 \cdot 2 = 3t_{встр} \cdot 2t_{встр}$
$6 = 6t_{встр}^2$
$t_{встр}^2 = 1$

Поскольку время не может быть отрицательным, время до встречи $t_{встр} = 1$ час.

Теперь мы можем найти скорости. Общее расстояние $S = 40$ км. Также $S = S_{AC} + S_{BC}$. Подставим $t_{встр} = 1$ в наши выражения для $S_{AC}$ и $S_{BC}$:
$S_{AC} = v_2 \cdot \frac{3}{2}$
$S_{BC} = v_1 \cdot \frac{2}{3}$
$v_2 \cdot \frac{3}{2} + v_1 \cdot \frac{2}{3} = 40$

Также мы знаем, что до встречи они вместе проехали 40 км за 1 час:
$(v_1 + v_2) \cdot t_{встр} = 40$
$(v_1 + v_2) \cdot 1 = 40 \Rightarrow v_1 + v_2 = 40 \Rightarrow v_2 = 40 - v_1$.

Подставим выражение для $v_2$ в уравнение $v_1 \cdot t_{встр} = v_2 \cdot \frac{3}{2}$:
$v_1 \cdot 1 = (40 - v_1) \cdot \frac{3}{2}$
$2v_1 = 3(40 - v_1)$
$2v_1 = 120 - 3v_1$
$5v_1 = 120$
$v_1 = 24$ км/ч.

Теперь найдем скорость второго велосипедиста:
$v_2 = 40 - v_1 = 40 - 24 = 16$ км/ч.

Ответ: скорость одного велосипедиста 24 км/ч, а другого — 16 км/ч.