Номер 14.1, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.1, страница 141.

Условие.

14.1. От станции $M$ в направлении станции $N$, расстояние между которыми равно 450 км, отправился скорый поезд. Через 3 ч после этого от станции $N$ в направлении станции $M$ отправился товарный поезд, который встретился со скорым через 3 ч после своего выхода. Скорый поезд преодолевает расстояние между станциями $M$ и $N$ на 7 ч 30 мин быстрее, чем товарный. Найдите скорость каждого поезда.

Решение.

Пусть $v_с$ км/ч — скорость скорого поезда, а $v_т$ км/ч — скорость товарного поезда.

Расстояние между станциями $M$ и $N$ равно $S = 450$ км.

Скорый поезд отправился от станции $M$. Через 3 часа от станции $N$ навстречу ему отправился товарный поезд. Они встретились через 3 часа после выхода товарного поезда.

Это означает, что к моменту встречи товарный поезд был в пути 3 часа, а скорый поезд был в пути $3 + 3 = 6$ часов.

За это время скорый поезд проехал расстояние $S_с = v_с \cdot 6$ км, а товарный поезд проехал расстояние $S_т = v_т \cdot 3$ км.

Так как они двигались навстречу друг другу, суммарное пройденное ими расстояние равно расстоянию между станциями:
$S_с + S_т = S$
$6v_с + 3v_т = 450$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы упростить его:
$2v_с + v_т = 150$ (1)

По второму условию, скорый поезд преодолевает расстояние между станциями на 7 ч 30 мин быстрее, чем товарный.
Переведем 7 ч 30 мин в часы: $7 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 7.5$ часа.

Время, которое тратит скорый поезд на весь путь: $t_с = \frac{450}{v_с}$.
Время, которое тратит товарный поезд на весь путь: $t_т = \frac{450}{v_т}$.

Разница во времени составляет 7.5 часов:
$t_т - t_с = 7.5$
$\frac{450}{v_т} - \frac{450}{v_с} = 7.5$ (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} 2v_с + v_т = 150 \\ \frac{450}{v_т} - \frac{450}{v_с} = 7.5 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_т$:
$v_т = 150 - 2v_с$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{450}{150 - 2v_с} - \frac{450}{v_с} = 7.5$

Разделим обе части уравнения на 7.5 (так как $450 / 7.5 = 60$):
$\frac{60}{150 - 2v_с} - \frac{60}{v_с} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v_с(150 - 2v_с)$:
$\frac{60v_с - 60(150 - 2v_с)}{v_с(150 - 2v_с)} = 1$

Умножим обе части на знаменатель, при условии что $v_с \neq 0$ и $v_с \neq 75$:
$60v_с - 9000 + 120v_с = 150v_с - 2v_с^2$

Перенесем все члены в одну сторону и приведем подобные слагаемые:
$2v_с^2 + (180 - 150)v_с - 9000 = 0$
$2v_с^2 + 30v_с - 9000 = 0$

Разделим уравнение на 2:
$v_с^2 + 15v_с - 4500 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4500) = 225 + 18000 = 18225$
$\sqrt{D} = \sqrt{18225} = 135$

Найдем корни уравнения:
$v_{с1} = \frac{-15 + 135}{2} = \frac{120}{2} = 60$
$v_{с2} = \frac{-15 - 135}{2} = \frac{-150}{2} = -75$

Так как скорость не может быть отрицательной, второй корень не подходит. Следовательно, скорость скорого поезда $v_с = 60$ км/ч.

Теперь найдем скорость товарного поезда, используя выражение $v_т = 150 - 2v_с$:
$v_т = 150 - 2 \cdot 60 = 150 - 120 = 30$ км/ч.

Ответ: Скорость скорого поезда — 60 км/ч, скорость товарного поезда — 30 км/ч.