Номер 13.35, страница 137 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.35, страница 137.

Условие.

13.35. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n$ делится нацело на 10.

Решение.

Для доказательства того, что значение выражения $3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n$ делится нацело на 10 при любом натуральном $n$, преобразуем данное выражение.

Используем свойство степеней $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$:

$3^{n+2} = 3^n \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^n$

$2^{n+2} = 2^n \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^n$

Подставим эти выражения в исходное:

$9 \cdot 3^n - 4 \cdot 2^n + 3^n - 2^n$

Теперь сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$(9 \cdot 3^n + 3^n) + (-4 \cdot 2^n - 2^n) = (9 \cdot 3^n + 1 \cdot 3^n) - (4 \cdot 2^n + 1 \cdot 2^n)$

Вынесем общие множители $3^n$ и $2^n$ за скобки:

$3^n(9+1) - 2^n(4+1) = 10 \cdot 3^n - 5 \cdot 2^n$

Рассмотрим полученное выражение. Первое слагаемое $10 \cdot 3^n$ очевидно делится на 10, так как содержит множитель 10.

Рассмотрим второе слагаемое $5 \cdot 2^n$. Так как $n$ по условию является натуральным числом, то $n \ge 1$. Это означает, что мы можем вынести множитель 2 из $2^n$:

$5 \cdot 2^n = 5 \cdot 2 \cdot 2^{n-1} = 10 \cdot 2^{n-1}$

Это выражение также делится на 10, поскольку содержит множитель 10.

Таким образом, исходное выражение представляет собой разность двух чисел ($10 \cdot 3^n$ и $10 \cdot 2^{n-1}$), каждое из которых делится нацело на 10. Разность двух чисел, делящихся на 10, также делится на 10.

Это можно показать, вынеся общий множитель 10 за скобки:

$10 \cdot 3^n - 10 \cdot 2^{n-1} = 10(3^n - 2^{n-1})$

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $3^n$ и $2^{n-1}$ являются целыми числами. Следовательно, их разность $(3^n - 2^{n-1})$ также является целым числом. Произведение целого числа на 10 всегда делится на 10. Таким образом, мы доказали, что исходное выражение делится на 10 при любом натуральном $n$.

Ответ: Утверждение доказано.