Номер 13.28, страница 137 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.28, страница 137.

Условие.

13.28. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 - y^2 + 6y - 13 = 0, \\ \sqrt{4 - x^2 + y^2} = 9; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 1 - (x - 3)^2 = \sqrt{x - y}, \\ y^2 - 4 = \sqrt{x - y - 1}. \end{cases}$

Решение.

1) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 - y^2 + 6y - 13 = 0, \\ \sqrt{4 - x^2} + y^2 = 9. \end{cases} $
Из второго уравнения следует, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4 - x^2 \ge 0$, откуда $x^2 \le 4$.
Преобразуем первое уравнение, выделив полный квадрат относительно переменной $y$:
$x^2 - (y^2 - 6y) - 13 = 0$
$x^2 - (y^2 - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 - 3^2) - 13 = 0$
$x^2 - ((y-3)^2 - 9) - 13 = 0$
$x^2 - (y-3)^2 + 9 - 13 = 0$
$x^2 - (y-3)^2 - 4 = 0$
$x^2 - 4 = (y-3)^2$
Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(y-3)^2 \ge 0$. Следовательно, левая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x^2 - 4 \ge 0$, откуда $x^2 \ge 4$.
Таким образом, мы получили два условия для $x^2$: $x^2 \le 4$ и $x^2 \ge 4$. Единственное значение, удовлетворяющее обоим условиям одновременно, это $x^2 = 4$.
Из $x^2 = 4$ следует, что $x = 2$ или $x = -2$.
Подставим значение $x^2 = 4$ в оба уравнения системы, чтобы найти соответствующее значение $y$.
Из преобразованного первого уравнения: $4 - 4 = (y-3)^2 \implies (y-3)^2 = 0 \implies y - 3 = 0 \implies y = 3$.
Из второго уравнения: $\sqrt{4-4} + y^2 = 9 \implies 0 + y^2 = 9 \implies y^2 = 9 \implies y = \pm 3$.
Значение $y$ должно удовлетворять обоим уравнениям, поэтому единственное подходящее значение — это $y=3$.
Таким образом, получаем два решения системы: $(2; 3)$ и $(-2; 3)$.
Ответ: $(-2; 3), (2; 3)$.

2) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 1 - (x-3)^2 = \sqrt{x-y}, \\ y^2 - 4 = \sqrt{x-y-1}. \end{cases} $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменных $x$ и $y$.
1. Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:
$x-y \ge 0$
$x-y-1 \ge 0 \implies x-y \ge 1$.
Второе неравенство является более строгим, поэтому ОДЗ по подкоренным выражениям: $x-y \ge 1$.
2. Правые части уравнений (квадратные корни) неотрицательны, следовательно, левые части также должны быть неотрицательными:
$1 - (x-3)^2 \ge 0 \implies (x-3)^2 \le 1 \implies -1 \le x-3 \le 1 \implies 2 \le x \le 4$.
$y^2 - 4 \ge 0 \implies y^2 \ge 4 \implies y \le -2$ или $y \ge 2$.
Проанализируем первое уравнение $1 - (x-3)^2 = \sqrt{x-y}$.
Так как $2 \le x \le 4$, то $-1 \le x-3 \le 1$, и следовательно, $0 \le (x-3)^2 \le 1$.
Отсюда для левой части уравнения имеем: $0 \le 1 - (x-3)^2 \le 1$.
Значит, $0 \le \sqrt{x-y} \le 1$. Возведя это двойное неравенство в квадрат, получаем $0 \le x-y \le 1$.
Теперь у нас есть два условия для выражения $x-y$:
- Из ОДЗ: $x-y \ge 1$. - Из анализа первого уравнения: $x-y \le 1$.
Единственное значение, удовлетворяющее обоим условиям, это $x-y = 1$.
Подставим это равенство в исходную систему уравнений.
Из первого уравнения:
$1 - (x-3)^2 = \sqrt{1} \implies 1 - (x-3)^2 = 1 \implies (x-3)^2 = 0 \implies x-3=0 \implies x=3$.
Из второго уравнения:
$y^2 - 4 = \sqrt{(x-y)-1} \implies y^2 - 4 = \sqrt{1-1} \implies y^2 - 4 = 0 \implies y^2=4 \implies y = \pm 2$.
Мы нашли, что $x=3$ и $y=\pm 2$. Проверим эти пары с помощью условия $x-y=1$.
- Если $x=3$ и $y=2$, то $x-y = 3-2 = 1$. Это равенство верное.
- Если $x=3$ и $y=-2$, то $x-y = 3-(-2) = 5$. Это не соответствует условию $x-y=1$.
Следовательно, единственным решением системы является пара $(3; 2)$.
Ответ: $(3; 2)$.