Номер 13.22, страница 136 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.22, страница 136.

Условие.

13.22. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} 5(x^4 + y^4) = 41(x^2 + y^2), \\ x^2 + y^2 + xy = 13; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3xy - x^2 - y^2 = 5, \\ 7x^2y^2 - x^4 - y^4 = 155. \end{cases} $

Решение.

1)

Данная система уравнений является симметрической: $$ \begin{cases} 5(x^4 + y^4) = 41(x^2 + y^2), \\ x^2 + y^2 + xy = 13. \end{cases} $$ Введем новые переменные: пусть $a = x^2 + y^2$ и $b = xy$.

Выразим $x^4 + y^4$ через $a$ и $b$: $x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = a^2 - 2b^2$.

Подставим новые переменные в исходную систему: $$ \begin{cases} 5(a^2 - 2b^2) = 41a, \\ a + b = 13. \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $a$: $a = 13 - b$. Подставим это выражение в первое уравнение: $5((13-b)^2 - 2b^2) = 41(13-b)$ $5(169 - 26b + b^2 - 2b^2) = 533 - 41b$ $5(169 - 26b - b^2) = 533 - 41b$ $845 - 130b - 5b^2 = 533 - 41b$ $5b^2 + 89b - 312 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $b$. Дискриминант $D = 89^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-312) = 7921 + 6240 = 14161 = 119^2$. Корни уравнения: $b_1 = \frac{-89 - 119}{10} = \frac{-208}{10} = -20,8$ $b_2 = \frac{-89 + 119}{10} = \frac{30}{10} = 3$

Найдем соответствующие значения $a$:
1. Если $b = 3$, то $a = 13 - 3 = 10$.
2. Если $b = -20,8$, то $a = 13 - (-20,8) = 33,8$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$, решив две системы:

Случай 1: $a = 10$, $b = 3$. $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ xy = 3. \end{cases} $$ Из второго уравнения $y = 3/x$. Подставляем в первое: $x^2 + (3/x)^2 = 10$ $x^2 + 9/x^2 = 10$ $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$ Это биквадратное уравнение. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. $t^2 - 10t + 9 = 0$. Корни $t_1 = 1$, $t_2 = 9$. Если $x^2 = 1$, то $x = \pm 1$. При $x=1$, $y=3$. При $x=-1$, $y=-3$. Если $x^2 = 9$, то $x = \pm 3$. При $x=3$, $y=1$. При $x=-3$, $y=-1$. Получаем четыре решения: $(1; 3), (-1; -3), (3; 1), (-3; -1)$.

Случай 2: $a = 33,8$, $b = -20,8$. $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 33,8, \\ xy = -20,8. \end{cases} $$ Сложим первое уравнение с удвоенным вторым: $x^2 + y^2 + 2xy = 33,8 + 2(-20,8)$ $(x+y)^2 = 33,8 - 41,6$ $(x+y)^2 = -7,8$ Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому в этом случае действительных решений нет.

Ответ: $(1; 3), (-1; -3), (3; 1), (-3; -1)$.

2)

Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} 3xy - x^2 - y^2 = 5, \\ 7x^2y^2 - x^4 - y^4 = 155. \end{cases} $$ Перепишем систему, сгруппировав симметрические многочлены: $$ \begin{cases} 3xy - (x^2 + y^2) = 5, \\ 7x^2y^2 - (x^4 + y^4) = 155. \end{cases} $$ Это симметрическая система. Введем замены: $a = x^2 + y^2$ и $b = xy$. Используя тождество $x^4 + y^4 = a^2 - 2b^2$, получаем систему для $a$ и $b$: $$ \begin{cases} 3b - a = 5, \\ 7b^2 - (a^2 - 2b^2) = 155. \end{cases} $$ Упростим второе уравнение: $7b^2 - a^2 + 2b^2 = 155 \implies 9b^2 - a^2 = 155$. Из первого уравнения выразим $a$: $a = 3b - 5$. Подставим это во второе уравнение: $9b^2 - (3b - 5)^2 = 155$ $9b^2 - (9b^2 - 30b + 25) = 155$ $9b^2 - 9b^2 + 30b - 25 = 155$ $30b = 180$ $b = 6$

Теперь найдем $a$: $a = 3b - 5 = 3(6) - 5 = 18 - 5 = 13$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$, решая систему: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ xy = 6. \end{cases} $$ Можно решить эту систему, заметив, что $x$ и $y$ являются корнями некоторого квадратного уравнения. Сложим первое уравнение с удвоенным вторым: $x^2+2xy+y^2 = 13+2(6) \implies (x+y)^2 = 25 \implies x+y = \pm 5$.

Случай 1: $x+y=5$ и $xy=6$. Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = 2, t_2 = 3$. Следовательно, решениями являются пары $(2; 3)$ и $(3; 2)$.

Случай 2: $x+y=-5$ и $xy=6$. $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 + 5t + 6 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = -2, t_2 = -3$. Следовательно, решениями являются пары $(-2; -3)$ и $(-3; -2)$.

Ответ: $(2; 3), (3; 2), (-2; -3), (-3; -2)$.