Номер 13.26, страница 137 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.26, страница 137.

Условие.

13.26. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} y^2 - xy + 1 = 0, \\ x^2 + 2x = -y^2 - 2y - 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + 4xy + 4y^4 = 0, \\ x^2 - 4x + 6 - 2y^6 = 0. \end{cases}$

Решение.

1) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} y^2 - xy + 1 = 0 \\ x^2 + 2x = -y^2 - 2y - 1 \end{cases}$

Преобразуем второе уравнение, перенеся все члены в левую часть:

$x^2 + 2x + y^2 + 2y + 1 = 0$

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases} y^2 - xy + 1 = 0 \quad (1) \\ x^2 + 2x + y^2 + 2y + 1 = 0 \quad (2) \end{cases}$

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$(x^2 + 2x + y^2 + 2y + 1) - (y^2 - xy + 1) = 0 - 0$

$x^2 + 2x + xy + 2y = 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$x(x+2) + y(x+2) = 0$

$(x+2)(x+y) = 0$

Это равенство выполняется в двух случаях:

Случай 1: $x+2=0$, откуда $x=-2$.

Подставим $x=-2$ в первое уравнение исходной системы:

$y^2 - (-2)y + 1 = 0$

$y^2 + 2y + 1 = 0$

$(y+1)^2 = 0$

$y = -1$

Получили решение $(-2, -1)$. Проверим его, подставив во второе уравнение исходной системы:

$(-2)^2 + 2(-2) = -(-1)^2 - 2(-1) - 1$

$4 - 4 = -1 + 2 - 1$

$0 = 0$

Решение $(-2, -1)$ является верным.

Случай 2: $x+y=0$, откуда $y=-x$.

Подставим $y=-x$ в первое уравнение исходной системы:

$(-x)^2 - x(-x) + 1 = 0$

$x^2 + x^2 + 1 = 0$

$2x^2 + 1 = 0$

$2x^2 = -1$

$x^2 = -1/2$

Данное уравнение не имеет действительных решений.

Таким образом, система имеет единственное решение.

Ответ: $(-2, -1)$.

2) Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 4xy + 4y^4 = 0 \\ x^2 - 4x + 6 - 2y^6 = 0 \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение. Дополним его до полного квадрата относительно $x$:

$x^2 + 4xy + 4y^2 - 4y^2 + 4y^4 = 0$

$(x+2y)^2 = 4y^2 - 4y^4$

$(x+2y)^2 = 4y^2(1-y^2)$

Поскольку левая часть уравнения $(x+2y)^2$ является полным квадратом, она не может быть отрицательной: $(x+2y)^2 \ge 0$.

Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной:

$4y^2(1-y^2) \ge 0$

Так как $4y^2 \ge 0$ для любого $y$, это неравенство сводится к $1-y^2 \ge 0$ (случай $y=0$ можно рассмотреть отдельно: подстановка в первое уравнение дает $x=0$, а во второе $6=0$, что неверно, значит $y \ne 0$).

$y^2 \le 1$, что эквивалентно $-1 \le y \le 1$.

Теперь рассмотрим второе уравнение. Перепишем его в виде:

$x^2 - 4x + 6 = 2y^6$

Выделим полный квадрат в левой части:

$(x^2 - 4x + 4) + 2 = 2y^6$

$(x-2)^2 + 2 = 2y^6$

Левая часть $(x-2)^2 + 2$ имеет наименьшее значение, равное 2 (при $x=2$), так как $(x-2)^2 \ge 0$.

Следовательно, $2y^6 \ge 2$, откуда $y^6 \ge 1$.

Это неравенство выполняется, когда $|y| \ge 1$, то есть $y \ge 1$ или $y \le -1$.

Объединим условия, полученные для $y$ из обоих уравнений:

$\begin{cases} -1 \le y \le 1 \\ y \ge 1 \text{ или } y \le -1 \end{cases}$

Единственные значения $y$, удовлетворяющие обоим условиям, это $y=1$ и $y=-1$.

Рассмотрим эти два случая.

Случай 1: $y=1$.

Подставим $y=1$ в оба уравнения системы:

$\begin{cases} x^2 + 4x(1) + 4(1)^4 = 0 \\ x^2 - 4x + 6 - 2(1)^6 = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x^2 + 4x + 4 = 0 \\ x^2 - 4x + 4 = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} (x+2)^2 = 0 \\ (x-2)^2 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения следует $x=-2$, а из второго $x=2$. Поскольку $x$ не может одновременно быть равен -2 и 2, в этом случае решений нет.

Случай 2: $y=-1$.

Подставим $y=-1$ в оба уравнения системы:

$\begin{cases} x^2 + 4x(-1) + 4(-1)^4 = 0 \\ x^2 - 4x + 6 - 2(-1)^6 = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x^2 - 4x + 4 = 0 \\ x^2 - 4x + 4 = 0 \end{cases}$

Оба уравнения превратились в одно и то же уравнение $(x-2)^2 = 0$, решением которого является $x=2$.

Таким образом, система имеет единственное решение $(2, -1)$.

Ответ: $(2, -1)$.