Номер 13.31, страница 137 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.31, страница 137.

Условие.

13.31. Найдите все значения параметра $a$, при которых система уравнений$$\begin{cases}a(x^4 + 1) = y + 1 - |x|, \\x^2 + y^2 = 1\end{cases}$$имеет единственное решение.

Решение.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} a(x^4 + 1) = y + 1 - |x|, \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} $$

Заметим, что если пара чисел $(x_0, y_0)$ является решением системы, то и пара $(-x_0, y_0)$ также является решением, поскольку переменная $x$ входит в оба уравнения в виде четных функций: $x^4$, $|x|$ и $x^2$.

$$ a((-x)^4 + 1) = a(x_0^4 + 1) = y_0 + 1 - |x_0| = y_0 + 1 - |-x_0| $$

$$ (-x_0)^2 + y_0^2 = x_0^2 + y_0^2 = 1 $$

Для того чтобы система имела единственное решение, необходимо, чтобы это решение $(x_0, y_0)$ совпадало с решением $(-x_0, y_0)$. Это возможно только в том случае, если $x_0 = -x_0$, что означает $x_0 = 0$.

Таким образом, единственное возможное решение системы должно иметь вид $(0, y)$. Подставим $x=0$ в исходную систему уравнений:

$$ \begin{cases} a(0^4 + 1) = y + 1 - |0|, \\ 0^2 + y^2 = 1 \end{cases} $$

Упростив, получаем:

$$ \begin{cases} a = y + 1, \\ y^2 = 1 \end{cases} $$

Из второго уравнения следует, что $y=1$ или $y=-1$. Найдем соответствующие значения параметра $a$ для каждого из этих случаев.

Случай 1: $y = 1$

Подставляя $y=1$ в уравнение $a = y + 1$, получаем $a = 1 + 1 = 2$.

Итак, при $a=2$ пара $(0, 1)$ является решением. Проверим, является ли это решение единственным. Система при $a=2$ принимает вид:

$$ \begin{cases} 2(x^4 + 1) = y + 1 - |x|, \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $y$:

$$ y = 2(x^4 + 1) - 1 + |x| = 2x^4 + |x| + 1 $$

Из второго уравнения $x^2 + y^2 = 1$ следует, что $y \le 1$.

В то же время, из выражения $y = 2x^4 + |x| + 1$ следует, что $y \ge 1$, так как $x^4 \ge 0$ и $|x| \ge 0$.

Система неравенств $y \le 1$ и $y \ge 1$ имеет единственное решение $y=1$. Равенство $y=1$ для выражения $2x^4 + |x| + 1$ достигается только при условии, что $2x^4 + |x| = 0$. Так как оба слагаемых неотрицательны, их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю: $x^4 = 0$ и $|x| = 0$, что означает $x=0$.

Таким образом, при $a=2$ система имеет единственное решение $(0, 1)$. Это значение параметра нам подходит.

Случай 2: $y = -1$

Подставляя $y=-1$ в уравнение $a = y + 1$, получаем $a = -1 + 1 = 0$.

Итак, при $a=0$ пара $(0, -1)$ является решением. Проверим, является ли это решение единственным. Система при $a=0$ принимает вид:

$$ \begin{cases} 0 \cdot (x^4 + 1) = y + 1 - |x|, \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} $$

Первое уравнение превращается в $0 = y + 1 - |x|$, откуда $y = |x| - 1$.

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$$ x^2 + (|x| - 1)^2 = 1 $$

$$ x^2 + |x|^2 - 2|x| + 1 = 1 $$

$$ 2|x|^2 - 2|x| = 0 $$

$$ 2|x|(|x| - 1) = 0 $$

Отсюда $|x|=0$ или $|x|=1$.

Если $|x|=0$, то $x=0$, и $y = |0|-1 = -1$. Получаем решение $(0, -1)$.

Если $|x|=1$, то $x=1$ или $x=-1$. В обоих случаях $y = |1|-1 = |-1|-1 = 0$. Получаем еще два решения: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Следовательно, при $a=0$ система имеет три решения, что не удовлетворяет условию задачи.

Единственное значение параметра, при котором система имеет единственное решение, это $a=2$.

Ответ: $a=2$.