Номер 13.24, страница 136 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.24, страница 136.

Условие.

13.24. Решите систему уравнений:

1) $$ \begin{cases} x+y+\sqrt{\frac{x+y}{x-y}} = \frac{12}{x-y}, \\ x^2+y^2 = 41; \end{cases} $$

2) $$ \begin{cases} y^2-3y+4x = 4, \\ y(y-4)(y+4x) = -21. \end{cases} $$

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y + \sqrt{\frac{x+y}{x-y}} = \frac{12}{x-y} \\ x^2 + y^2 = 41 \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями:

$x-y \neq 0$ и $\frac{x+y}{x-y} \ge 0$.

Из второго условия следует, что $x+y$ и $x-y$ должны быть одного знака (или $x+y=0$). Если $x+y=0$, то первое уравнение примет вид $0 = \frac{12}{2x}$, что невозможно. Следовательно, $x+y \neq 0$, и знаки выражений $x+y$ и $x-y$ совпадают.

Введем новые переменные: $u = x+y$ и $v = x-y$.

Выразим $x^2+y^2$ через $u$ и $v$:

$x = \frac{u+v}{2}, y = \frac{u-v}{2}$

$x^2+y^2 = \left(\frac{u+v}{2}\right)^2 + \left(\frac{u-v}{2}\right)^2 = \frac{u^2+2uv+v^2+u^2-2uv+v^2}{4} = \frac{2u^2+2v^2}{4} = \frac{u^2+v^2}{2}$.

Тогда второе уравнение системы примет вид $\frac{u^2+v^2}{2} = 41$, или $u^2+v^2 = 82$.

Первое уравнение системы в новых переменных: $u + \sqrt{\frac{u}{v}} = \frac{12}{v}$.

Рассмотрим два случая в соответствии с ОДЗ.

Случай 1: $u > 0$ и $v > 0$.

Умножим первое уравнение на $v > 0$:

$uv + v\sqrt{\frac{u}{v}} = 12$

$uv + \sqrt{v^2 \cdot \frac{u}{v}} = 12$

$uv + \sqrt{uv} = 12$

Пусть $t = \sqrt{uv}$, где $t>0$. Получаем квадратное уравнение: $t^2+t-12=0$.

Корни этого уравнения $t_1=3$ и $t_2=-4$. Так как $t>0$, подходит только $t=3$.

Значит, $\sqrt{uv}=3$, откуда $uv=9$.

Получаем систему для $u$ и $v$:

$ \begin{cases} uv = 9 \\ u^2+v^2 = 82 \end{cases} $

Так как $(u+v)^2 = u^2+v^2+2uv = 82 + 2 \cdot 9 = 100$, то $u+v = \pm 10$. Поскольку $u,v>0$, то $u+v=10$.

Решая систему $\begin{cases} u+v=10 \\ uv=9 \end{cases}$, находим пары $(u, v)$: $(1, 9)$ и $(9, 1)$.

Возвращаемся к переменным $x, y$:

а) Если $u=1, v=9$: $\begin{cases} x+y=1 \\ x-y=9 \end{cases}$. Складывая уравнения, получаем $2x=10 \implies x=5$. Тогда $y=1-5=-4$. Решение: $(5, -4)$.

б) Если $u=9, v=1$: $\begin{cases} x+y=9 \\ x-y=1 \end{cases}$. Складывая уравнения, получаем $2x=10 \implies x=5$. Тогда $y=9-5=4$. Решение: $(5, 4)$.

Случай 2: $u < 0$ и $v < 0$.

Умножим первое уравнение $u + \sqrt{\frac{u}{v}} = \frac{12}{v}$ на $v < 0$:

$uv + v\sqrt{\frac{u}{v}} = 12$

Поскольку $v < 0$, то $v = -\sqrt{v^2}$. Тогда $v\sqrt{\frac{u}{v}} = -\sqrt{v^2 \cdot \frac{u}{v}} = -\sqrt{uv}$.

Уравнение принимает вид $uv - \sqrt{uv} = 12$.

Пусть $t = \sqrt{uv}$, где $t>0$. Получаем $t^2-t-12=0$.

Корни этого уравнения $t_1=4$ и $t_2=-3$. Так как $t>0$, подходит только $t=4$.

Значит, $\sqrt{uv}=4$, откуда $uv=16$.

Получаем систему для $u$ и $v$:

$ \begin{cases} uv = 16 \\ u^2+v^2 = 82 \end{cases} $

Так как $(u+v)^2 = u^2+v^2+2uv = 82 + 2 \cdot 16 = 114$, то $u+v = \pm \sqrt{114}$. Поскольку $u,v<0$, то $u+v=-\sqrt{114}$.

Также найдем $u-v$: $(u-v)^2 = u^2+v^2-2uv = 82 - 2 \cdot 16 = 50$, то $u-v = \pm \sqrt{50} = \pm 5\sqrt{2}$.

Решаем систему для $u$ и $v$:

$ \begin{cases} u+v = -\sqrt{114} \\ u-v = \pm 5\sqrt{2} \end{cases} $

Возвращаемся к переменным $x, y$:

$x = \frac{u+v}{2} = -\frac{\sqrt{114}}{2}$.

$y = \frac{u-v}{2} = \pm \frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Получаем два решения: $(-\frac{\sqrt{114}}{2}, \frac{5\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{114}}{2}, -\frac{5\sqrt{2}}{2})$.

Проверка показывает, что все четыре найденные пары являются решениями исходной системы.

Ответ: $(5, 4), (5, -4), (-\frac{\sqrt{114}}{2}, \frac{5\sqrt{2}}{2}), (-\frac{\sqrt{114}}{2}, -\frac{5\sqrt{2}}{2})$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y^2 - 3y + 4x = 4 \\ y(y-4)(y+4x) = -21 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $4x$:

$4x = 4 - y^2 + 3y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$y(y-4)(y + (4 - y^2 + 3y)) = -21$

$y(y-4)(-y^2 + 4y + 4) = -21$

Раскроем скобки:

$y(-y^3 + 4y^2 + 4y + 4y^2 - 16y - 16) = -21$

$y(-y^3 + 8y^2 - 12y - 16) = -21$

$-y^4 + 8y^3 - 12y^2 - 16y = -21$

$y^4 - 8y^3 + 12y^2 + 16y - 21 = 0$

Это уравнение четвертой степени относительно $y$. Попробуем найти его целые корни среди делителей свободного члена (-21): $\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 21$.

Проверка показывает, что $y=1$ и $y=3$ являются корнями:

При $y=1$: $1 - 8 + 12 + 16 - 21 = 0$.

При $y=3$: $3^4 - 8 \cdot 3^3 + 12 \cdot 3^2 + 16 \cdot 3 - 21 = 81 - 216 + 108 + 48 - 21 = 0$.

Следовательно, многочлен делится на $(y-1)(y-3) = y^2 - 4y + 3$.

Выполнив деление многочленов, получаем:

$(y^4 - 8y^3 + 12y^2 + 16y - 21) : (y^2 - 4y + 3) = y^2 - 4y - 7$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(y-1)(y-3)(y^2 - 4y - 7) = 0$.

Оставшиеся корни находим из квадратного уравнения $y^2 - 4y - 7 = 0$.

$D = (-4)^2 - 4(1)(-7) = 16 + 28 = 44$.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 2 \pm \sqrt{11}$.

Мы нашли четыре возможных значения для $y$. Для каждого из них найдем соответствующее значение $x$ по формуле $4x = 4 - y^2 + 3y$.

1. Если $y=1$:

$4x = 4 - 1^2 + 3(1) = 6 \implies x = \frac{3}{2}$. Решение: $(\frac{3}{2}, 1)$.

2. Если $y=3$:

$4x = 4 - 3^2 + 3(3) = 4 - 9 + 9 = 4 \implies x = 1$. Решение: $(1, 3)$.

3. Если $y = 2 + \sqrt{11}$ (корень уравнения $y^2 - 4y - 7 = 0$, откуда $y^2 = 4y+7$):

$4x = 4 - y^2 + 3y = 4 - (4y+7) + 3y = -y - 3$.

$4x = -(2+\sqrt{11}) - 3 = -5 - \sqrt{11} \implies x = \frac{-5-\sqrt{11}}{4}$.

Решение: $(\frac{-5-\sqrt{11}}{4}, 2+\sqrt{11})$.

4. Если $y = 2 - \sqrt{11}$ (также корень уравнения $y^2 - 4y - 7 = 0$):

$4x = -y - 3 = -(2-\sqrt{11}) - 3 = -5 + \sqrt{11} \implies x = \frac{-5+\sqrt{11}}{4}$.

Решение: $(\frac{-5+\sqrt{11}}{4}, 2-\sqrt{11})$.

Ответ: $(1, 3), (\frac{3}{2}, 1), (\frac{-5-\sqrt{11}}{4}, 2+\sqrt{11}), (\frac{-5+\sqrt{11}}{4}, 2-\sqrt{11})$.