Номер 13.18, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.18, страница 135.

Условие.

13.18. Решите систему уравнений:

1)

$$ \begin{cases} (x-1)(y-1)=1, \\ x^2y + xy^2 = 16; \end{cases} $$

2)

$$ \begin{cases} (x^2+1)(y^2+1)=10, \\ (x+y)(xy-1)=3. \end{cases} $$

Решение.

1) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} (x-1)(y-1) = 1 \\ x^2y + xy^2 = 16 \end{cases} $$ Преобразуем оба уравнения.
Из первого уравнения: $xy - x - y + 1 = 1$
$xy - (x+y) = 0$
$xy = x+y$
Из второго уравнения, вынесем $xy$ за скобки: $xy(x+y) = 16$
Получаем новую систему: $$ \begin{cases} x+y = xy \\ xy(x+y) = 16 \end{cases} $$ Это симметрическая система. Введем новые переменные: пусть $u = x+y$ и $v = xy$.
Система примет вид: $$ \begin{cases} u = v \\ uv = 16 \end{cases} $$ Подставив $v=u$ во второе уравнение, получим: $u \cdot u = 16$
$u^2 = 16$
Отсюда $u = 4$ или $u = -4$.
Поскольку $v=u$, рассмотрим два случая.

Случай 1: $u = 4$ и $v = 4$.
Возвращаемся к переменным $x$ и $y$: $$ \begin{cases} x+y = 4 \\ xy = 4 \end{cases} $$ Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t + 4 = 0$.
$(t-2)^2 = 0$
Уравнение имеет один корень $t=2$. Значит, $x=2$ и $y=2$.

Случай 2: $u = -4$ и $v = -4$.
Возвращаемся к переменным $x$ и $y$: $$ \begin{cases} x+y = -4 \\ xy = -4 \end{cases} $$ $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-4)t + (-4) = 0$, то есть $t^2 + 4t - 4 = 0$.
Найдем корни по формуле для корней квадратного уравнения: $D = 4^2 - 4(1)(-4) = 16 + 16 = 32$
$t = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2}$
Это дает нам две пары решений: $(-2 + 2\sqrt{2}, -2 - 2\sqrt{2})$ и $(-2 - 2\sqrt{2}, -2 + 2\sqrt{2})$.

Ответ: $(2, 2)$, $(-2 + 2\sqrt{2}, -2 - 2\sqrt{2})$, $(-2 - 2\sqrt{2}, -2 + 2\sqrt{2})$.

2) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} (x^2+1)(y^2+1) = 10 \\ (x+y)(xy-1) = 3 \end{cases} $$ Это симметрическая система. Введем новые переменные: пусть $u = x+y$ и $v = xy$.
Преобразуем первое уравнение: $x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1 = 10$
$(xy)^2 + (x^2+2xy+y^2) - 2xy - 9 = 0$
$(xy)^2 + (x+y)^2 - 2xy - 9 = 0$
В новых переменных: $v^2 + u^2 - 2v - 9 = 0$.
Второе уравнение в новых переменных: $u(v-1) = 3$.
Получаем систему для $u$ и $v$: $$ \begin{cases} v^2 + u^2 - 2v - 9 = 0 \\ u(v-1) = 3 \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение, выделив полный квадрат: $(v^2 - 2v + 1) + u^2 - 10 = 0$
$(v-1)^2 + u^2 = 10$
Теперь система выглядит проще: $$ \begin{cases} (v-1)^2 + u^2 = 10 \\ u(v-1) = 3 \end{cases} $$ Сделаем еще одну замену: пусть $a = v-1$ и $b = u$. $$ \begin{cases} a^2 + b^2 = 10 \\ ab = 3 \end{cases} $$ Из второго уравнения $b=3/a$. Подставим в первое: $a^2 + (3/a)^2 = 10 \implies a^2 + 9/a^2 = 10$.
Умножим на $a^2$ (где $a \ne 0$): $a^4 + 9 = 10a^2 \implies a^4 - 10a^2 + 9 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Пусть $z=a^2$, тогда $z^2 - 10z + 9 = 0$.
Корни этого уравнения $z_1=1, z_2=9$.
Следовательно, $a^2=1$ или $a^2=9$, откуда $a \in \{1, -1, 3, -3\}$.
Рассмотрим четыре случая:

Случай 1: $a=1$. Тогда $b = 3/1 = 3$.
$v-1=1 \implies v=2$.
$u=3$.
Решаем систему $x+y=3, xy=2$. Корни уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$ равны $t_1=1, t_2=2$.
Решения: $(1, 2)$ и $(2, 1)$.

Случай 2: $a=-1$. Тогда $b = 3/(-1) = -3$.
$v-1=-1 \implies v=0$.
$u=-3$.
Решаем систему $x+y=-3, xy=0$. Корни уравнения $t^2 + 3t = 0$ равны $t_1=0, t_2=-3$.
Решения: $(0, -3)$ и $(-3, 0)$.

Случай 3: $a=3$. Тогда $b = 3/3 = 1$.
$v-1=3 \implies v=4$.
$u=1$.
Решаем систему $x+y=1, xy=4$. Уравнение $t^2 - t + 4 = 0$ имеет дискриминант $D = 1-16=-15 < 0$, действительных корней нет.

Случай 4: $a=-3$. Тогда $b = 3/(-3) = -1$.
$v-1=-3 \implies v=-2$.
$u=-1$.
Решаем систему $x+y=-1, xy=-2$. Корни уравнения $t^2 + t - 2 = 0$ равны $t_1=1, t_2=-2$.
Решения: $(1, -2)$ и $(-2, 1)$.

Ответ: $(1, 2)$, $(2, 1)$, $(0, -3)$, $(-3, 0)$, $(1, -2)$, $(-2, 1)$.