Номер 13.12, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.12, страница 135.

Условие.

13.12. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 - 5y^2 = -1, \\ 3xy + 7y^2 = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + xy - 3y^2 = -9, \\ x^2 - y^2 - 2xy = -7; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 3x^2 - y^2 = 11, \\ x^2 + 2xy - y^2 = 7; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 2x^2 + 3xy + y^2 = 3, \\ 3x^2 - xy + 2y^2 = 16. \end{cases}$

Решение.

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 5y^2 = -1, \\ 3xy + 7y^2 = 1. \end{cases} $

Данная система является однородной. Чтобы решить ее, сложим первое и второе уравнения, чтобы избавиться от констант в правой части:

$(x^2 - 5y^2) + (3xy + 7y^2) = -1 + 1$

$x^2 + 3xy + 2y^2 = 0$

Мы получили однородное уравнение. Если $y = 0$, то из первого уравнения системы $x^2 = -1$, что невозможно для действительных чисел. Значит, $y \neq 0$. Разделим уравнение на $y^2$:

$(\frac{x}{y})^2 + 3(\frac{x}{y}) + 2 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$t^2 + 3t + 2 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$. Возвращаемся к исходным переменным:

1. $\frac{x}{y} = -1 \Rightarrow x = -y$.

Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:

$(-y)^2 - 5y^2 = -1$

$y^2 - 5y^2 = -1$

$-4y^2 = -1$

$y^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow y_1 = \frac{1}{2}, y_2 = -\frac{1}{2}$.

Тогда $x_1 = -y_1 = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = -y_2 = \frac{1}{2}$.

Получаем две пары решений: $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$.

2. $\frac{x}{y} = -2 \Rightarrow x = -2y$.

Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:

$(-2y)^2 - 5y^2 = -1$

$4y^2 - 5y^2 = -1$

$-y^2 = -1$

$y^2 = 1 \Rightarrow y_3 = 1, y_4 = -1$.

Тогда $x_3 = -2y_3 = -2$ и $x_4 = -2y_4 = 2$.

Получаем еще две пары решений: $(-2, 1)$ и $(2, -1)$.

Ответ: $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$, $(-2, 1)$, $(2, -1)$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + xy - 3y^2 = -9, \\ x^2 - y^2 - 2xy = -7. \end{cases} $

Чтобы получить однородное уравнение, умножим первое уравнение на 7, а второе на 9, чтобы уравнять свободные члены, а затем приравняем левые части.

$7(x^2 + xy - 3y^2) = 7(-9) \Rightarrow 7x^2 + 7xy - 21y^2 = -63$

$9(x^2 - y^2 - 2xy) = 9(-7) \Rightarrow 9x^2 - 18xy - 9y^2 = -63$

$7x^2 + 7xy - 21y^2 = 9x^2 - 18xy - 9y^2$

$2x^2 - 25xy + 12y^2 = 0$

Если $y=0$, то $x^2=-9$ и $x^2=-7$, что невозможно. Значит, $y \neq 0$. Разделим на $y^2$:

$2(\frac{x}{y})^2 - 25(\frac{x}{y}) + 12 = 0$

Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда $2t^2 - 25t + 12 = 0$.

Дискриминант $D = (-25)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 625 - 96 = 529 = 23^2$.

$t = \frac{25 \pm 23}{4} \Rightarrow t_1 = \frac{48}{4} = 12, t_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

1. $\frac{x}{y} = 12 \Rightarrow x = 12y$.

Подставим в первое уравнение системы: $(12y)^2 + (12y)y - 3y^2 = -9 \Rightarrow 144y^2 + 12y^2 - 3y^2 = -9 \Rightarrow 153y^2 = -9$. Это уравнение не имеет действительных решений.

2. $\frac{x}{y} = \frac{1}{2} \Rightarrow y = 2x$.

Подставим в первое уравнение системы:

$x^2 + x(2x) - 3(2x)^2 = -9$

$x^2 + 2x^2 - 12x^2 = -9$

$-9x^2 = -9$

$x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1$.

Тогда $y_1 = 2x_1 = 2$ и $y_2 = 2x_2 = -2$.

Получаем две пары решений: $(1, 2)$ и $(-1, -2)$.

Ответ: $(1, 2)$, $(-1, -2)$.

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x^2 - y^2 = 11, \\ x^2 + 2xy - y^2 = 7. \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 7, а второе на 11:

$7(3x^2 - y^2) = 77 \Rightarrow 21x^2 - 7y^2 = 77$

$11(x^2 + 2xy - y^2) = 77 \Rightarrow 11x^2 + 22xy - 11y^2 = 77$

Приравняем левые части:

$21x^2 - 7y^2 = 11x^2 + 22xy - 11y^2$

$10x^2 - 22xy + 4y^2 = 0$

Разделим на 2: $5x^2 - 11xy + 2y^2 = 0$.

Если $y=0$, то $3x^2=11$ и $x^2=7$, что невозможно. Значит, $y \neq 0$. Разделим на $y^2$:

$5(\frac{x}{y})^2 - 11(\frac{x}{y}) + 2 = 0$

Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда $5t^2 - 11t + 2 = 0$.

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81 = 9^2$.

$t = \frac{11 \pm 9}{10} \Rightarrow t_1 = \frac{20}{10} = 2, t_2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

1. $\frac{x}{y} = 2 \Rightarrow x = 2y$.

Подставим в первое уравнение системы:

$3(2y)^2 - y^2 = 11$

$12y^2 - y^2 = 11 \Rightarrow 11y^2 = 11 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1$.

Если $y=1$, то $x=2$. Если $y=-1$, то $x=-2$. Получаем решения $(2, 1)$ и $(-2, -1)$.

2. $\frac{x}{y} = \frac{1}{5} \Rightarrow y = 5x$.

Подставим в первое уравнение системы:

$3x^2 - (5x)^2 = 11 \Rightarrow 3x^2 - 25x^2 = 11 \Rightarrow -22x^2 = 11 \Rightarrow x^2 = -\frac{1}{2}$. Нет действительных решений.

Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$.

4) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x^2 + 3xy + y^2 = 3, \\ 3x^2 - xy + 2y^2 = 16. \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 16, а второе на 3:

$16(2x^2 + 3xy + y^2) = 48 \Rightarrow 32x^2 + 48xy + 16y^2 = 48$

$3(3x^2 - xy + 2y^2) = 48 \Rightarrow 9x^2 - 3xy + 6y^2 = 48$

Приравняем левые части:

$32x^2 + 48xy + 16y^2 = 9x^2 - 3xy + 6y^2$

$23x^2 + 51xy + 10y^2 = 0$

Если $y=0$, то $2x^2=3$ и $3x^2=16$, что невозможно. Значит, $y \neq 0$. Разделим на $y^2$:

$23(\frac{x}{y})^2 + 51(\frac{x}{y}) + 10 = 0$

Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда $23t^2 + 51t + 10 = 0$.

$D = 51^2 - 4 \cdot 23 \cdot 10 = 2601 - 920 = 1681 = 41^2$.

$t = \frac{-51 \pm 41}{46} \Rightarrow t_1 = \frac{-10}{46} = -\frac{5}{23}, t_2 = \frac{-92}{46} = -2$.

1. $\frac{x}{y} = -2 \Rightarrow x = -2y$.

Подставим в первое уравнение системы:

$2(-2y)^2 + 3(-2y)y + y^2 = 3$

$8y^2 - 6y^2 + y^2 = 3 \Rightarrow 3y^2 = 3 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1$.

Если $y=1$, то $x=-2$. Если $y=-1$, то $x=2$. Получаем решения $(-2, 1)$ и $(2, -1)$.

2. $\frac{x}{y} = -\frac{5}{23} \Rightarrow x = -\frac{5}{23}y$.

Подставим в первое уравнение системы:

$2(-\frac{5}{23}y)^2 + 3(-\frac{5}{23}y)y + y^2 = 3$

$2(\frac{25}{529}y^2) - \frac{15}{23}y^2 + y^2 = 3$

$(\frac{50}{529} - \frac{15 \cdot 23}{529} + \frac{529}{529})y^2 = 3$

$\frac{50 - 345 + 529}{529}y^2 = 3 \Rightarrow \frac{234}{529}y^2 = 3 \Rightarrow y^2 = \frac{3 \cdot 529}{234} = \frac{529}{78}$.

$y = \pm \sqrt{\frac{529}{78}} = \pm \frac{23}{\sqrt{78}} = \pm \frac{23\sqrt{78}}{78}$.

Тогда $x = -\frac{5}{23}y = \mp \frac{5}{\sqrt{78}} = \mp \frac{5\sqrt{78}}{78}$.

Получаем решения $(-\frac{5\sqrt{78}}{78}, \frac{23\sqrt{78}}{78})$ и $(\frac{5\sqrt{78}}{78}, -\frac{23\sqrt{78}}{78})$.

Ответ: $(-2, 1)$, $(2, -1)$, $(-\frac{5\sqrt{78}}{78}, \frac{23\sqrt{78}}{78})$, $(\frac{5\sqrt{78}}{78}, -\frac{23\sqrt{78}}{78})$.