Номер 13.8, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.8, страница 134.

Условие.

13.8. Решите систему уравнений:

1)

$\begin{cases}\sqrt{x + y} + \sqrt{2x + y + 3} = 7, \\3x + 2y = 22;\end{cases}$

2)

$\begin{cases}\frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{5}{2}, \\x^2 - y^2 = 3.\end{cases}$

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x+y} + \sqrt{2x+y+3} = 7, \\ 3x+2y=22. \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt{x+y}$ и $b = \sqrt{2x+y+3}$. Так как переменные равны значению арифметического квадратного корня, то $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Тогда первое уравнение системы примет вид:

$a+b=7$

Возведем выражения для $a$ и $b$ в квадрат:

$a^2 = x+y$

$b^2 = 2x+y+3$

Сложим эти два выражения:

$a^2+b^2 = (x+y) + (2x+y+3) = 3x+2y+3$

Из второго уравнения исходной системы нам известно, что $3x+2y=22$. Подставим это значение в полученное выражение:

$a^2+b^2 = 22+3 = 25$

Теперь у нас есть система уравнений относительно $a$ и $b$:

$ \begin{cases} a+b=7, \\ a^2+b^2=25. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b$: $b=7-a$. Подставим во второе уравнение:

$a^2 + (7-a)^2 = 25$

$a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25$

$2a^2 - 14a + 24 = 0$

$a^2 - 7a + 12 = 0$

Корнями этого квадратного уравнения являются $a_1=3$ и $a_2=4$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $a=3$.

Тогда $b = 7-a = 7-3=4$. Оба значения $a=3$ и $b=4$ удовлетворяют условиям $a \ge 0, b \ge 0$.

Вернемся к переменным $x$ и $y$:

$ \begin{cases} \sqrt{x+y} = 3, \\ \sqrt{2x+y+3} = 4. \end{cases} $

Возведем оба уравнения в квадрат:

$ \begin{cases} x+y = 9, \\ 2x+y+3 = 16. \end{cases} $ $ \implies $ $ \begin{cases} x+y = 9, \\ 2x+y = 13. \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго: $(2x+y)-(x+y) = 13-9$, откуда $x=4$.

Подставим $x=4$ в первое уравнение: $4+y=9$, откуда $y=5$.

Получили решение $(4; 5)$.

Случай 2: $a=4$.

Тогда $b = 7-a = 7-4=3$. Оба значения $a=4$ и $b=3$ удовлетворяют условиям $a \ge 0, b \ge 0$.

Вернемся к переменным $x$ и $y$:

$ \begin{cases} \sqrt{x+y} = 4, \\ \sqrt{2x+y+3} = 3. \end{cases} $

Возведем оба уравнения в квадрат:

$ \begin{cases} x+y = 16, \\ 2x+y+3 = 9. \end{cases} $ $ \implies $ $ \begin{cases} x+y = 16, \\ 2x+y = 6. \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго: $(2x+y)-(x+y) = 6-16$, откуда $x=-10$.

Подставим $x=-10$ в первое уравнение: $-10+y=16$, откуда $y=26$.

Получили решение $(-10; 26)$.

Проверка подтверждает, что обе пары чисел являются решениями исходной системы.

Ответ: $(4; 5)$, $(-10; 26)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{5}{2}, \\ x^2-y^2=3. \end{cases} $

Область допустимых значений: $xy \ne 0$, то есть $x \ne 0$ и $y \ne 0$.

Преобразуем первое уравнение системы:

$\frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} = \frac{5}{2}$

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{5}{2}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{t}$. Уравнение примет вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части уравнения на $2t$ (так как $t \ne 0$):

$2t^2 + 2 = 5t$

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$t_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5+3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $t = 2$.

Тогда $\frac{x}{y} = 2$, откуда $x=2y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(2y)^2 - y^2 = 3$

$4y^2 - y^2 = 3$

$3y^2 = 3$

$y^2 = 1$

Отсюда $y_1=1$ и $y_2=-1$.

Если $y=1$, то $x=2y=2 \cdot 1 = 2$. Получаем решение $(2; 1)$.

Если $y=-1$, то $x=2y=2 \cdot (-1) = -2$. Получаем решение $(-2; -1)$.

Случай 2: $t = \frac{1}{2}$.

Тогда $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$, откуда $y=2x$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x^2 - (2x)^2 = 3$

$x^2 - 4x^2 = 3$

$-3x^2 = 3$

$x^2 = -1$

Это уравнение не имеет действительных решений.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(2; 1)$, $(-2; -1)$.