Номер 13.5, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.5, страница 134.

Условие.

13.5. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} 9x^2 + \sqrt{9x^2 + 2y + 1} = 1 - 2y, \\ 6x + y = 2; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 + 2y + \sqrt{x^2 + 2y + 1} = 1, \\ 2x + y = 2. \end{cases} $

Решение.

1)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 9x^2 + \sqrt{9x^2 + 2y + 1} = 1 - 2y, \\ 6x + y = 2; \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение, перенеся $-2y$ в левую часть: $$ 9x^2 + 2y + \sqrt{9x^2 + 2y + 1} = 1 $$

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{9x^2 + 2y + 1}$. По определению квадратного корня, должно выполняться условие $t \ge 0$. Возведя обе части в квадрат, получим $t^2 = 9x^2 + 2y + 1$, откуда следует, что $9x^2 + 2y = t^2 - 1$.

Подставим это выражение в преобразованное первое уравнение: $$ (t^2 - 1) + t = 1 $$ $$ t^2 + t - 2 = 0 $$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его корни, например, по теореме Виета: $$ t_1 + t_2 = -1 $$ $$ t_1 \cdot t_2 = -2 $$ Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Так как мы установили, что $t \ge 0$, корень $t = -2$ является посторонним. Следовательно, единственное возможное значение $t = 1$.

Вернемся к исходным переменным: $$ \sqrt{9x^2 + 2y + 1} = 1 $$ Возведем обе части в квадрат: $$ 9x^2 + 2y + 1 = 1 $$ $$ 9x^2 + 2y = 0 $$

Теперь исходная система равносильна следующей, более простой системе: $$ \begin{cases} 9x^2 + 2y = 0, \\ 6x + y = 2; \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 2 - 6x$. Подставим это выражение в первое уравнение системы: $$ 9x^2 + 2(2 - 6x) = 0 $$ $$ 9x^2 + 4 - 12x = 0 $$ $$ 9x^2 - 12x + 4 = 0 $$

Левая часть уравнения является полным квадратом разности $(3x-2)^2$: $$ (3x - 2)^2 = 0 $$ Отсюда $3x - 2 = 0$, и $x = \frac{2}{3}$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$: $$ y = 2 - 6x = 2 - 6 \cdot \frac{2}{3} = 2 - 4 = -2 $$

Решение системы - пара чисел $(\frac{2}{3}; -2)$.

Ответ: $(\frac{2}{3}; -2)$.

2)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + 2y + \sqrt{x^2 + 2y + 1} = 1, \\ 2x + y = 2. \end{cases} $$

Первое уравнение имеет структуру, аналогичную предыдущей задаче. Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2 + 2y + 1}$. Согласно определению квадратного корня, $t \ge 0$. Тогда $t^2 = x^2 + 2y + 1$, откуда $x^2 + 2y = t^2 - 1$.

Подставим это в первое уравнение системы: $$ (t^2 - 1) + t = 1 $$ $$ t^2 + t - 2 = 0 $$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Учитывая условие $t \ge 0$, отбрасываем посторонний корень $t = -2$ и оставляем $t = 1$.

Выполним обратную замену: $$ \sqrt{x^2 + 2y + 1} = 1 $$ Возведем обе части в квадрат: $$ x^2 + 2y + 1 = 1 $$ $$ x^2 + 2y = 0 $$

Таким образом, мы получили эквивалентную систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + 2y = 0, \\ 2x + y = 2; \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 2 - 2x$. Подставим это выражение в первое уравнение: $$ x^2 + 2(2 - 2x) = 0 $$ $$ x^2 + 4 - 4x = 0 $$ $$ x^2 - 4x + 4 = 0 $$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности: $$ (x - 2)^2 = 0 $$ Отсюда $x - 2 = 0$, и $x = 2$.

Найдем соответствующее значение $y$: $$ y = 2 - 2x = 2 - 2 \cdot 2 = 2 - 4 = -2 $$

Решение системы - пара чисел $(2; -2)$.

Ответ: $(2; -2)$.