Номер 13.9, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.9, страница 134.

Условие.

13.9. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 2x^2 - 5xy - 3y^2 = 0, \\ x^2 - 2xy - y^2 = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x^2 - 5xy + 2y^2 = 0, \\ x^2 + y^2 = 5. \end{cases}$

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x^2 - 5xy - 3y^2 = 0 \\ x^2 - 2xy - y^2 = 2 \end{cases} $$

Первое уравнение системы $2x^2 - 5xy - 3y^2 = 0$ является однородным уравнением второй степени. Решим его относительно $x$, рассматривая как квадратное уравнение.

Дискриминант $D = (-5y)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3y^2) = 25y^2 + 24y^2 = 49y^2$.

Корни уравнения: $x = \frac{5y \pm \sqrt{49y^2}}{4} = \frac{5y \pm 7y}{4}$.

Получаем два случая:

Случай 1: $x_1 = \frac{5y + 7y}{4} = \frac{12y}{4} = 3y$.

Случай 2: $x_2 = \frac{5y - 7y}{4} = \frac{-2y}{4} = -\frac{1}{2}y$.

Подставим полученные выражения для $x$ во второе уравнение системы $x^2 - 2xy - y^2 = 2$.

Для случая 1 ($x = 3y$):

$(3y)^2 - 2(3y)y - y^2 = 2$

$9y^2 - 6y^2 - y^2 = 2$

$2y^2 = 2$

$y^2 = 1 \Rightarrow y_1 = 1, y_2 = -1$.

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 3 \cdot 1 = 3$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 3 \cdot (-1) = -3$.

Получили две пары решений: $(3; 1)$ и $(-3; -1)$.

Для случая 2 ($x = -\frac{1}{2}y$):

$(-\frac{1}{2}y)^2 - 2(-\frac{1}{2}y)y - y^2 = 2$

$\frac{1}{4}y^2 + y^2 - y^2 = 2$

$\frac{1}{4}y^2 = 2$

$y^2 = 8 \Rightarrow y_3 = 2\sqrt{2}, y_4 = -2\sqrt{2}$.

Если $y_3 = 2\sqrt{2}$, то $x_3 = -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} = -\sqrt{2}$.

Если $y_4 = -2\sqrt{2}$, то $x_4 = -\frac{1}{2} \cdot (-2\sqrt{2}) = \sqrt{2}$.

Получили еще две пары решений: $(-\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$ и $(\sqrt{2}; -2\sqrt{2})$.

Ответ: $(3; 1)$, $(-3; -1)$, $(-\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$, $(\sqrt{2}; -2\sqrt{2})$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x^2 - 5xy + 2y^2 = 0 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} $$

Первое уравнение системы $2x^2 - 5xy + 2y^2 = 0$ также является однородным. Заметим, что пара $(0; 0)$ не является решением системы, так как не удовлетворяет второму уравнению. Следовательно, можно разделить первое уравнение на $y^2 \neq 0$.

Разделим на $y^2$:

$2\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 5\left(\frac{x}{y}\right) + 2 = 0$.

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$2t^2 - 5t + 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Корни: $t = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$.

$t_1 = \frac{5+3}{4} = 2$ и $t_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене:

Случай 1: $\frac{x}{y} = 2 \Rightarrow x = 2y$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{1}{2} \Rightarrow y = 2x$.

Подставим эти соотношения во второе уравнение системы $x^2 + y^2 = 5$.

Для случая 1 ($x = 2y$):

$(2y)^2 + y^2 = 5$

$4y^2 + y^2 = 5$

$5y^2 = 5$

$y^2 = 1 \Rightarrow y_1 = 1, y_2 = -1$.

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 2 \cdot 1 = 2$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 2 \cdot (-1) = -2$.

Получили две пары решений: $(2; 1)$ и $(-2; -1)$.

Для случая 2 ($y = 2x$):

$x^2 + (2x)^2 = 5$

$x^2 + 4x^2 = 5$

$5x^2 = 5$

$x^2 = 1 \Rightarrow x_3 = 1, x_4 = -1$.

Если $x_3 = 1$, то $y_3 = 2 \cdot 1 = 2$.

Если $x_4 = -1$, то $y_4 = 2 \cdot (-1) = -2$.

Получили еще две пары решений: $(1; 2)$ и $(-1; -2)$.

Ответ: $(2; 1)$, $(-2; -1)$, $(1; 2)$, $(-1; -2)$.