Номер 13.7, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.7, страница 134.

Условие.

13.7. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} \sqrt{4 - x + y} + \sqrt{9 - 2x + y} = 7, \\ 2y - 3x = 12; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sqrt{x^2 + 5} + \sqrt{y^2 - 5} = 5, \\ x^2 + y^2 = 13. \end{cases}$

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{4 - x + y} + \sqrt{9 - 2x + y} = 7 \\ 2y - 3x = 12 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $2y$ через $x$:

$2y = 3x + 12$

Отсюда $y = \frac{3}{2}x + 6$.

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение. Для этого сначала вычислим выражения под корнями:

$4 - x + y = 4 - x + (\frac{3}{2}x + 6) = 10 + \frac{1}{2}x$

$9 - 2x + y = 9 - 2x + (\frac{3}{2}x + 6) = 15 - \frac{1}{2}x$

Теперь первое уравнение принимает вид:

$\sqrt{10 + \frac{1}{2}x} + \sqrt{15 - \frac{1}{2}x} = 7$

Введем новые переменные для упрощения решения. Пусть $a = \sqrt{10 + \frac{1}{2}x}$ и $b = \sqrt{15 - \frac{1}{2}x}$. При этом $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Тогда уравнение запишется как $a + b = 7$.

Возведем выражения для $a$ и $b$ в квадрат:

$a^2 = 10 + \frac{1}{2}x$

$b^2 = 15 - \frac{1}{2}x$

Сложим эти два равенства:

$a^2 + b^2 = (10 + \frac{1}{2}x) + (15 - \frac{1}{2}x) = 25$.

Теперь у нас есть система уравнений для $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} a + b = 7 \\ a^2 + b^2 = 25 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $b = 7 - a$ и подставим во второе:

$a^2 + (7 - a)^2 = 25$

$a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25$

$2a^2 - 14a + 24 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$a^2 - 7a + 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $a_1=3$ и $a_2=4$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $a=3$.

Тогда $b = 7 - 3 = 4$. Проверим: $a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Верно.

Вернемся к переменной $x$:

$a = \sqrt{10 + \frac{1}{2}x} = 3$

$10 + \frac{1}{2}x = 9$

$\frac{1}{2}x = -1$

$x_1 = -2$.

Найдем соответствующее значение $y$:

$y_1 = \frac{3}{2}(-2) + 6 = -3 + 6 = 3$.

Получили решение $(-2, 3)$.

Случай 2: $a=4$.

Тогда $b = 7 - 4 = 3$. Проверим: $a^2 + b^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$. Верно.

Вернемся к переменной $x$:

$a = \sqrt{10 + \frac{1}{2}x} = 4$

$10 + \frac{1}{2}x = 16$

$\frac{1}{2}x = 6$

$x_2 = 12$.

Найдем соответствующее значение $y$:

$y_2 = \frac{3}{2}(12) + 6 = 18 + 6 = 24$.

Получили решение $(12, 24)$.

Проверим оба решения, подставив их в исходную систему.

Для $(-2, 3)$:

$\sqrt{4 - (-2) + 3} + \sqrt{9 - 2(-2) + 3} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$. (Верно)

$2(3) - 3(-2) = 6 + 6 = 12$. (Верно)

Для $(12, 24)$:

$\sqrt{4 - 12 + 24} + \sqrt{9 - 2(12) + 24} = \sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7$. (Верно)

$2(24) - 3(12) = 48 - 36 = 12$. (Верно)

Оба решения подходят.

Ответ: $(-2, 3)$, $(12, 24)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{x^2 + 5} + \sqrt{y^2 - 5} = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} $$

Сделаем замену переменных. Пусть $u = x^2$ и $v = y^2$. Так как квадраты чисел неотрицательны, то $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Система примет вид:

$$ \begin{cases} \sqrt{u + 5} + \sqrt{v - 5} = 5 \\ u + v = 13 \end{cases} $$

Найдем область допустимых значений. Из-за корней имеем:

$u + 5 \ge 0 \implies u \ge -5$. Это условие выполняется, так как $u \ge 0$.

$v - 5 \ge 0 \implies v \ge 5$.

Из второго уравнения системы выразим $u = 13 - v$ и подставим в первое уравнение:

$\sqrt{(13 - v) + 5} + \sqrt{v - 5} = 5$

$\sqrt{18 - v} + \sqrt{v - 5} = 5$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{18 - v} + \sqrt{v - 5})^2 = 5^2$

$(18 - v) + 2\sqrt{(18 - v)(v - 5)} + (v - 5) = 25$

$13 + 2\sqrt{(18 - v)(v - 5)} = 25$

$2\sqrt{(18 - v)(v - 5)} = 12$

$\sqrt{(18 - v)(v - 5)} = 6$

Снова возведем обе части в квадрат:

$(18 - v)(v - 5) = 36$

$18v - 90 - v^2 + 5v = 36$

$-v^2 + 23v - 90 - 36 = 0$

$-v^2 + 23v - 126 = 0$

Умножим на -1:

$v^2 - 23v + 126 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 126 = 529 - 504 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения:

$v_1 = \frac{23 - 5}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$v_2 = \frac{23 + 5}{2} = \frac{28}{2} = 14$

Оба значения удовлетворяют условию $v \ge 5$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $v = 9$.

Тогда $u = 13 - v = 13 - 9 = 4$. Это значение удовлетворяет условию $u \ge 0$.

Вернемся к исходным переменным:

$x^2 = u = 4 \implies x = \pm 2$.

$y^2 = v = 9 \implies y = \pm 3$.

Получаем четыре решения: $(2, 3)$, $(2, -3)$, $(-2, 3)$, $(-2, -3)$.

Случай 2: $v = 14$.

Тогда $u = 13 - v = 13 - 14 = -1$. Это значение не удовлетворяет условию $u \ge 0$, так как $x^2$ не может быть отрицательным. Следовательно, в этом случае решений нет.

Проверим найденные решения, например, пару $(2,3)$:

$\sqrt{2^2 + 5} + \sqrt{3^2 - 5} = \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5$. (Верно)

$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$. (Верно)

Так как в уравнения входят только $x^2$ и $y^2$, все четыре пары чисел будут решениями.

Ответ: $(2, 3)$, $(2, -3)$, $(-2, 3)$, $(-2, -3)$.