Номер 13.11, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.11, страница 135.

Условие.

13.11. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 + 3xy = 7, \\ y^2 + xy = 6; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 + xy - y^2 = 20, \\ x^2 + 3xy - 3y^2 = 28; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 + 4xy - 3y^2 = 2, \\ x^2 - xy + 5y^2 = 5; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 2x^2 - 3xy + 2y^2 = 14, \\ x^2 + xy - y^2 = 5. \end{cases} $

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 3xy = 7, \\ y^2 + xy = 6. \end{cases} $

Заметим, что если $y = 0$, то второе уравнение принимает вид $0 = 6$, что неверно. Следовательно, $y \ne 0$. Умножим первое уравнение на 6, а второе на 7, чтобы избавиться от свободных членов:

$ \begin{cases} 6(x^2 + 3xy) = 42, \\ 7(y^2 + xy) = 42. \end{cases} $

Приравняем левые части уравнений:

$6(x^2 + 3xy) = 7(y^2 + xy)$

$6x^2 + 18xy = 7y^2 + 7xy$

$6x^2 + 11xy - 7y^2 = 0$

Поскольку $y \ne 0$, разделим обе части уравнения на $y^2$:

$6(\frac{x}{y})^2 + 11(\frac{x}{y}) - 7 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$6t^2 + 11t - 7 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $t$:

$D = 11^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-7) = 121 + 168 = 289 = 17^2$

$t_1 = \frac{-11 - 17}{12} = \frac{-28}{12} = -\frac{7}{3}$

$t_2 = \frac{-11 + 17}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Рассмотрим два случая:

1. $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$, откуда $y = 2x$. Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы:

$(2x)^2 + x(2x) = 6$

$4x^2 + 2x^2 = 6$

$6x^2 = 6$

$x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$.

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 2 \cdot 1 = 2$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 2 \cdot (-1) = -2$.

Получаем две пары решений: $(1, 2)$ и $(-1, -2)$.

2. $\frac{x}{y} = -\frac{7}{3}$, откуда $x = -\frac{7}{3}y$. Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы:

$y^2 + (-\frac{7}{3}y)y = 6$

$y^2 - \frac{7}{3}y^2 = 6$

$-\frac{4}{3}y^2 = 6$

$y^2 = -\frac{18}{4} = -\frac{9}{2}$

Это уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: $(1, 2), (-1, -2)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + xy - y^2 = 20, \\ x^2 + 3xy - 3y^2 = 28. \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 7, а второе на 5, чтобы получить одинаковые свободные члены (140):

$7(x^2 + xy - y^2) = 5(x^2 + 3xy - 3y^2)$

$7x^2 + 7xy - 7y^2 = 5x^2 + 15xy - 15y^2$

$2x^2 - 8xy + 8y^2 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 4xy + 4y^2 = 0$

Это выражение является полным квадратом:

$(x - 2y)^2 = 0$

Отсюда следует, что $x - 2y = 0$, то есть $x = 2y$.

Подставим $x = 2y$ в первое уравнение исходной системы:

$(2y)^2 + (2y)y - y^2 = 20$

$4y^2 + 2y^2 - y^2 = 20$

$5y^2 = 20$

$y^2 = 4 \implies y_1 = 2, y_2 = -2$.

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 \cdot 2 = 4$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = 2 \cdot (-2) = -4$.

Получаем две пары решений: $(4, 2)$ и $(-4, -2)$.

Ответ: $(4, 2), (-4, -2)$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 4xy - 3y^2 = 2, \\ x^2 - xy + 5y^2 = 5. \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 5, а второе на 2:

$ \begin{cases} 5(x^2 + 4xy - 3y^2) = 10, \\ 2(x^2 - xy + 5y^2) = 10. \end{cases} $

Приравняем левые части:

$5(x^2 + 4xy - 3y^2) = 2(x^2 - xy + 5y^2)$

$5x^2 + 20xy - 15y^2 = 2x^2 - 2xy + 10y^2$

$3x^2 + 22xy - 25y^2 = 0$

Если $y=0$, то из первого уравнения $x^2=2$, а из второго $x^2=5$, что невозможно. Значит $y \ne 0$. Разделим на $y^2$:

$3(\frac{x}{y})^2 + 22(\frac{x}{y}) - 25 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$3t^2 + 22t - 25 = 0$

$D = 22^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-25) = 484 + 300 = 784 = 28^2$

$t_1 = \frac{-22 - 28}{6} = \frac{-50}{6} = -\frac{25}{3}$

$t_2 = \frac{-22 + 28}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Рассмотрим два случая:

1. $\frac{x}{y} = 1$, откуда $x=y$. Подставим в первое уравнение системы:

$y^2 + 4y(y) - 3y^2 = 2$

$2y^2 = 2 \implies y^2 = 1 \implies y_1 = 1, y_2 = -1$.

Соответствующие решения: $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

2. $\frac{x}{y} = -\frac{25}{3}$, откуда $x = -\frac{25}{3}y$. Подставим в первое уравнение:

$(-\frac{25}{3}y)^2 + 4(-\frac{25}{3}y)y - 3y^2 = 2$

$\frac{625}{9}y^2 - \frac{100}{3}y^2 - 3y^2 = 2$

$\frac{625 - 300 - 27}{9}y^2 = 2$

$\frac{298}{9}y^2 = 2 \implies y^2 = \frac{18}{298} = \frac{9}{149} \implies y = \pm \frac{3}{\sqrt{149}}$.

Если $y = \frac{3}{\sqrt{149}}$, то $x = -\frac{25}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{149}} = -\frac{25}{\sqrt{149}}$.

Если $y = -\frac{3}{\sqrt{149}}$, то $x = \frac{25}{\sqrt{149}}$.

Получаем еще две пары решений: $(-\frac{25}{\sqrt{149}}, \frac{3}{\sqrt{149}})$ и $(\frac{25}{\sqrt{149}}, -\frac{3}{\sqrt{149}})$.

Ответ: $(1, 1), (-1, -1), (-\frac{25\sqrt{149}}{149}, \frac{3\sqrt{149}}{149}), (\frac{25\sqrt{149}}{149}, -\frac{3\sqrt{149}}{149})$.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x^2 - 3xy + 2y^2 = 14, \\ x^2 + xy - y^2 = 5. \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 5, а второе на 14:

$ \begin{cases} 5(2x^2 - 3xy + 2y^2) = 70, \\ 14(x^2 + xy - y^2) = 70. \end{cases} $

Приравняем левые части:

$5(2x^2 - 3xy + 2y^2) = 14(x^2 + xy - y^2)$

$10x^2 - 15xy + 10y^2 = 14x^2 + 14xy - 14y^2$

$0 = 4x^2 + 29xy - 24y^2$

Если $y=0$, то из первого уравнения $2x^2=14 \implies x^2=7$, а из второго $x^2=5$, что невозможно. Значит $y \ne 0$. Разделим на $y^2$:

$4(\frac{x}{y})^2 + 29(\frac{x}{y}) - 24 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$4t^2 + 29t - 24 = 0$

$D = 29^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-24) = 841 + 384 = 1225 = 35^2$

$t_1 = \frac{-29 - 35}{8} = \frac{-64}{8} = -8$

$t_2 = \frac{-29 + 35}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Рассмотрим два случая:

1. $\frac{x}{y} = \frac{3}{4}$, откуда $x = \frac{3}{4}y$. Подставим во второе уравнение системы:

$(\frac{3}{4}y)^2 + (\frac{3}{4}y)y - y^2 = 5$

$\frac{9}{16}y^2 + \frac{3}{4}y^2 - y^2 = 5$

$\frac{9+12-16}{16}y^2 = 5 \implies \frac{5}{16}y^2 = 5 \implies y^2 = 16 \implies y_1=4, y_2=-4$.

Если $y_1 = 4$, то $x_1 = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3$.

Если $y_2 = -4$, то $x_2 = \frac{3}{4} \cdot (-4) = -3$.

Решения: $(3, 4)$ и $(-3, -4)$.

2. $\frac{x}{y} = -8$, откуда $x = -8y$. Подставим во второе уравнение:

$(-8y)^2 + (-8y)y - y^2 = 5$

$64y^2 - 8y^2 - y^2 = 5$

$55y^2 = 5 \implies y^2 = \frac{1}{11} \implies y = \pm \frac{1}{\sqrt{11}}$.

Если $y = \frac{1}{\sqrt{11}}$, то $x = -8 \cdot \frac{1}{\sqrt{11}} = -\frac{8}{\sqrt{11}}$.

Если $y = -\frac{1}{\sqrt{11}}$, то $x = -8 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{11}}) = \frac{8}{\sqrt{11}}$.

Решения: $(-\frac{8}{\sqrt{11}}, \frac{1}{\sqrt{11}})$ и $(\frac{8}{\sqrt{11}}, -\frac{1}{\sqrt{11}})$.

Ответ: $(3, 4), (-3, -4), (-\frac{8\sqrt{11}}{11}, \frac{\sqrt{11}}{11}), (\frac{8\sqrt{11}}{11}, -\frac{\sqrt{11}}{11})$.