Номер 13.6, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.6, страница 134.

Условие.

13.6. Решите систему уравнений

$\begin{cases} x^2 + \sqrt{3x^2 - 2y + 3} = \frac{2}{3}y + 5, \\ 3y - 2x = 5. \end{cases}$

Решение.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + \sqrt{3x^2 - 2y + 3} = \frac{2}{3}y + 5 \\ 3y - 2x = 5 \end{cases} $$

Для решения системы преобразуем первое уравнение. Перенесем член $\frac{2}{3}y$ в левую часть, а член $x^2$ в правую, предварительно умножив все уравнение на 3, чтобы избавиться от дроби:

$3x^2 + 3\sqrt{3x^2 - 2y + 3} = 2y + 15$

$3x^2 - 2y + 3\sqrt{3x^2 - 2y + 3} - 15 = 0$

Заметим, что выражение под корнем $3x^2 - 2y + 3$ повторяется. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{3x^2 - 2y + 3}$. По определению квадратного корня, $t \ge 0$.

Тогда $t^2 = 3x^2 - 2y + 3$, откуда $3x^2 - 2y = t^2 - 3$.

Подставим $t$ и выражение для $3x^2 - 2y$ в преобразованное первое уравнение:

$(t^2 - 3) + 3t - 15 = 0$

$t^2 + 3t - 18 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $t$. Решим его, например, по теореме Виета. Сумма корней равна -3, а произведение -18. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -6$.

Так как мы ввели условие $t \ge 0$, корень $t = -6$ является посторонним. Следовательно, единственное возможное значение для $t$ это $t = 3$.

Вернемся к замене:

$\sqrt{3x^2 - 2y + 3} = 3$

Возведем обе части в квадрат:

$3x^2 - 2y + 3 = 9$

$3x^2 - 2y = 6$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений, одно из которых мы только что получили, а другое — второе уравнение изначальной системы:

$$ \begin{cases} 3x^2 - 2y = 6 \\ 3y - 2x = 5 \end{cases} $$

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим $y$:

$3y = 2x + 5 \Rightarrow y = \frac{2x+5}{3}$.

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$3x^2 - 2\left(\frac{2x+5}{3}\right) = 6$

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$9x^2 - 2(2x+5) = 18$

$9x^2 - 4x - 10 = 18$

$9x^2 - 4x - 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $x$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-28) = 16 + 1008 = 1024$.

$\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 32}{2 \cdot 9} = \frac{36}{18} = 2$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 32}{2 \cdot 9} = \frac{-28}{18} = -\frac{14}{9}$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя выражение $y = \frac{2x+5}{3}$.

При $x_1 = 2$:

$y_1 = \frac{2(2)+5}{3} = \frac{4+5}{3} = \frac{9}{3} = 3$.

При $x_2 = -\frac{14}{9}$:

$y_2 = \frac{2(-\frac{14}{9})+5}{3} = \frac{-\frac{28}{9}+\frac{45}{9}}{3} = \frac{\frac{17}{9}}{3} = \frac{17}{27}$.

Таким образом, мы получили две пары решений: $(2, 3)$ и $(-\frac{14}{9}, \frac{17}{27})$.

Проверим оба решения, подставив их в исходную систему уравнений.

Для пары $(2, 3)$:

1) $2^2 + \sqrt{3(2)^2 - 2(3) + 3} = 4 + \sqrt{12 - 6 + 3} = 4 + \sqrt{9} = 4+3=7$.
$\frac{2}{3}(3) + 5 = 2+5=7$. Равенство $7=7$ верно.

2) $3(3) - 2(2) = 9 - 4 = 5$. Равенство $5=5$ верно.

Для пары $(-\frac{14}{9}, \frac{17}{27})$:

1) $(-\frac{14}{9})^2 + \sqrt{3(-\frac{14}{9})^2 - 2(\frac{17}{27}) + 3} = \frac{196}{81} + \sqrt{3(\frac{196}{81}) - \frac{34}{27} + 3} = \frac{196}{81} + \sqrt{\frac{196}{27} - \frac{34}{27} + \frac{81}{27}} = \frac{196}{81} + \sqrt{\frac{243}{27}} = \frac{196}{81} + \sqrt{9} = \frac{196}{81} + 3 = \frac{196+243}{81} = \frac{439}{81}$.
$\frac{2}{3}(\frac{17}{27}) + 5 = \frac{34}{81} + 5 = \frac{34+405}{81} = \frac{439}{81}$. Равенство верно.

2) $3(\frac{17}{27}) - 2(-\frac{14}{9}) = \frac{17}{9} + \frac{28}{9} = \frac{45}{9} = 5$. Равенство $5=5$ верно.

Обе пары являются решениями системы.

Ответ: $(2, 3)$, $(-\frac{14}{9}, \frac{17}{27})$.