Номер 13.13, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.13, страница 135.

Условие.

13.13. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} (x - y)(x^2 - y^2) = 16, \\ (x + y)(x^2 + y^2) = 40; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^3 - 3x^2y = -4, \\ y^3 - xy^2 = -1. \end{cases}$

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} (x - y)(x^2 - y^2) = 16 \\ (x + y)(x^2 + y^2) = 40 \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(x - y)(x - y)(x + y) = 16$

$(x - y)^2(x + y) = 16$

Введем замену переменных. Пусть $a = x - y$ и $b = x + y$.

Тогда первое уравнение примет вид: $a^2b = 16$.

Выразим $x^2 + y^2$ через $a$ и $b$. Из замены имеем $x = \frac{a+b}{2}$ и $y = \frac{b-a}{2}$.

Тогда $x^2 + y^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 + \left(\frac{b-a}{2}\right)^2 = \frac{a^2+2ab+b^2}{4} + \frac{b^2-2ab+a^2}{4} = \frac{2a^2+2b^2}{4} = \frac{a^2+b^2}{2}$.

Подставим эти выражения во второе уравнение системы:

$b \cdot \frac{a^2+b^2}{2} = 40$, или $b(a^2+b^2) = 80$.

Получили новую систему уравнений относительно $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} a^2b = 16 \\ b(a^2+b^2) = 80 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $a^2 = \frac{16}{b}$ (заметим, что $b \ne 0$, иначе $16=0$, что неверно).

Подставим это выражение во второе уравнение:

$b\left(\frac{16}{b} + b^2\right) = 80$

$16 + b^3 = 80$

$b^3 = 64$

$b = 4$.

Теперь найдем $a$:

$a^2 = \frac{16}{b} = \frac{16}{4} = 4$.

Отсюда $a = 2$ или $a = -2$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $a = 2, b = 4$.

$$ \begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 4 \end{cases} $$

Складывая уравнения, получаем $2x = 6 \implies x = 3$.

Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2y = 2 \implies y = 1$.

Первое решение: $(3, 1)$.

Случай 2: $a = -2, b = 4$.

$$ \begin{cases} x - y = -2 \\ x + y = 4 \end{cases} $$

Складывая уравнения, получаем $2x = 2 \implies x = 1$.

Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2y = 6 \implies y = 3$.

Второе решение: $(1, 3)$.

Ответ: $(3, 1), (1, 3)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^3 - 3x^2y = -4 \\ y^3 - xy^2 = -1 \end{cases} $$

Чтобы свести систему к однородному уравнению, умножим второе уравнение на 4, чтобы уравнять свободные члены:

$4(y^3 - xy^2) = 4(-1) \implies 4y^3 - 4xy^2 = -4$.

Теперь мы можем приравнять левые части первого и преобразованного второго уравнений:

$x^3 - 3x^2y = 4y^3 - 4xy^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^3 - 3x^2y + 4xy^2 - 4y^3 = 0$.

Заметим, что $y=0$ не является решением системы, так как подстановка $y=0$ во второе уравнение дает $0 = -1$, что является противоречием. Следовательно, мы можем разделить уравнение на $y^3 \ne 0$:

$\left(\frac{x}{y}\right)^3 - 3\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 4\left(\frac{x}{y}\right) - 4 = 0$.

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$t^3 - 3t^2 + 4t - 4 = 0$.

Найдем корни этого кубического уравнения. Попробуем найти целый корень среди делителей свободного члена (-4): $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.

Проверка $t=2$: $2^3 - 3(2^2) + 4(2) - 4 = 8 - 12 + 8 - 4 = 0$.

Значит, $t=2$ является корнем. Разложим многочлен на множители:

$t^3 - 2t^2 - t^2 + 2t + 2t - 4 = 0$

$t^2(t-2) - t(t-2) + 2(t-2) = 0$

$(t-2)(t^2 - t + 2) = 0$.

Получаем два уравнения:

1) $t - 2 = 0 \implies t = 2$.

2) $t^2 - t + 2 = 0$. Дискриминант этого квадратного уравнения $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Единственное действительное значение для $t$ это $t=2$.

Возвращаемся к замене: $\frac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$.

Подставим это соотношение во второе исходное уравнение:

$y^3 - xy^2 = -1$

$y^3 - (2y)y^2 = -1$

$y^3 - 2y^3 = -1$

$-y^3 = -1$

$y^3 = 1 \implies y = 1$.

Теперь найдем $x$:

$x = 2y = 2 \cdot 1 = 2$.

Решение системы: $(2, 1)$.

Проверим, подставив в первое уравнение:

$x^3 - 3x^2y = 2^3 - 3(2^2)(1) = 8 - 12 = -4$. Верно.

Ответ: $(2, 1)$.