Номер 13.14, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.14, страница 135.

Условие.

13.14. Решите систему уравнений:

1) $$\begin{cases} (x+y)(x^2 - y^2) = 9, \\ (x-y)(x^2 + y^2) = 5; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} \frac{x}{y}(x^2 - 2y^2) = 4, \\ \frac{y}{x}(x^2 + 2y^2) = 3. \end{cases}$$

Решение.

1)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} (x + y)(x^2 - y^2) = 9 \\ (x - y)(x^2 + y^2) = 5 \end{cases} $

В первом уравнении используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$(x + y)(x - y)(x + y) = 9$

$(x + y)^2 (x - y) = 9$

Сделаем замену переменных. Пусть $u = x + y$ и $v = x - y$.

Тогда первое уравнение примет вид: $u^2 v = 9$.

Выразим $x$ и $y$ через $u$ и $v$:

$x = \frac{u+v}{2}$, $y = \frac{u-v}{2}$

Тогда $x^2 + y^2 = \left(\frac{u+v}{2}\right)^2 + \left(\frac{u-v}{2}\right)^2 = \frac{u^2+2uv+v^2}{4} + \frac{u^2-2uv+v^2}{4} = \frac{2u^2+2v^2}{4} = \frac{u^2+v^2}{2}$.

Подставим эти выражения во второе уравнение системы $(x - y)(x^2 + y^2) = 5$:

$v \left(\frac{u^2+v^2}{2}\right) = 5$, что эквивалентно $v(u^2 + v^2) = 10$.

Получаем систему уравнений относительно $u$ и $v$:

$ \begin{cases} u^2 v = 9 \\ v(u^2 + v^2) = 10 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $u^2 = \frac{9}{v}$ (заметим, что $v \neq 0$, иначе $9=0$, что неверно).

Подставим это во второе уравнение:

$v\left(\frac{9}{v} + v^2\right) = 10$

$9 + v^3 = 10$

$v^3 = 1$, откуда находим единственное действительное решение $v = 1$.

Теперь найдем $u$:

$u^2 = \frac{9}{v} = \frac{9}{1} = 9$, откуда $u = 3$ или $u = -3$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $u = 3, v = 1$.

$ \begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases} $

Складывая уравнения, получаем $2x = 4$, то есть $x = 2$.

Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2y = 2$, то есть $y = 1$.

Получили решение $(2, 1)$.

Случай 2: $u = -3, v = 1$.

$ \begin{cases} x + y = -3 \\ x - y = 1 \end{cases} $

Складывая уравнения, получаем $2x = -2$, то есть $x = -1$.

Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2y = -4$, то есть $y = -2$.

Получили решение $(-1, -2)$.

Ответ: $(2, 1)$, $(-1, -2)$.

2)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{y}(x^2 - 2y^2) = 4 \\ \frac{y}{x}(x^2 + 2y^2) = 3 \end{cases} $

Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.

Перепишем систему, избавившись от знаменателей:

$ \begin{cases} x(x^2 - 2y^2) = 4y \\ y(x^2 + 2y^2) = 3x \end{cases} $

Раскроем скобки:

$ \begin{cases} x^3 - 2xy^2 = 4y \\ yx^2 + 2y^3 = 3x \end{cases} $

Умножим первое уравнение на $3x$, а второе на $4y$, чтобы правые части стали равными:

$3x(x^3 - 2xy^2) = 3x(4y) = 12xy$

$4y(yx^2 + 2y^3) = 4y(3x) = 12xy$

Приравняем левые части полученных уравнений:

$3x(x^3 - 2xy^2) = 4y(yx^2 + 2y^3)$

$3x^4 - 6x^2y^2 = 4x^2y^2 + 8y^4$

$3x^4 - 10x^2y^2 - 8y^4 = 0$

Это однородное уравнение. Так как $y \neq 0$, разделим обе части на $y^4$:

$3\left(\frac{x}{y}\right)^4 - 10\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 8 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Уравнение примет вид:

$3t^4 - 10t^2 - 8 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем еще одну замену $z = t^2$, где $z \ge 0$:

$3z^2 - 10z - 8 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196 = 14^2$.

$z = \frac{10 \pm 14}{6}$

$z_1 = \frac{10 + 14}{6} = \frac{24}{6} = 4$

$z_2 = \frac{10 - 14}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

Так как $z = t^2 \ge 0$, корень $z_2 = -2/3$ не подходит.

Возвращаемся к переменной $t$: $t^2 = z_1 = 4$, откуда $t = 2$ или $t = -2$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $t = \frac{x}{y} = 2$, то есть $x = 2y$.

Подставим это выражение во второе исходное уравнение $\frac{y}{x}(x^2 + 2y^2) = 3$:

$\frac{y}{2y}((2y)^2 + 2y^2) = 3$

$\frac{1}{2}(4y^2 + 2y^2) = 3$

$\frac{1}{2}(6y^2) = 3$

$3y^2 = 3$, откуда $y^2 = 1$, и $y = \pm 1$.

Если $y = 1$, то $x = 2y = 2$. Получаем решение $(2, 1)$.

Если $y = -1$, то $x = 2y = -2$. Получаем решение $(-2, -1)$.

Случай 2: $t = \frac{x}{y} = -2$, то есть $x = -2y$.

Подставим это выражение во второе исходное уравнение:

$\frac{y}{-2y}((-2y)^2 + 2y^2) = 3$

$-\frac{1}{2}(4y^2 + 2y^2) = 3$

$-\frac{1}{2}(6y^2) = 3$

$-3y^2 = 3$, откуда $y^2 = -1$. В этом случае действительных решений нет.

Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$.