Номер 13.21, страница 136 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.21, страница 136.

Условие.

13.21. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^4 + y^4 - x^2 - y^2 = 12, \\ 2x^2 - xy + 2y^2 = 8; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 10(x^4 + y^4) = -17(x^3y + xy^3), \\ x^2 + y^2 = 5. \end{cases} $

Решение.

1)

Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} x^4 + y^4 - x^2 - y^2 = 12 \\ 2x^2 - xy + 2y^2 = 8 \end{cases} $$

Преобразуем уравнения. Первое уравнение можно представить в виде:

$(x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2 - (x^2+y^2) = 12$

Второе уравнение можно переписать так:

$2(x^2+y^2) - xy = 8$

Введем замену переменных. Пусть $u = x^2+y^2$ и $v = xy$. Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} u^2 - 2v^2 - u = 12 \\ 2u - v = 8 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $v$ через $u$:

$v = 2u - 8$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$u^2 - 2(2u-8)^2 - u = 12$

$u^2 - 2(4u^2 - 32u + 64) - u = 12$

$u^2 - 8u^2 + 64u - 128 - u = 12$

$-7u^2 + 63u - 140 = 0$

Разделим уравнение на $-7$:

$u^2 - 9u + 20 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения:

$u_1 = 4$, $u_2 = 5$

Теперь найдем соответствующие значения $v$ для каждого значения $u$ и решим полученные системы.

Случай 1: $u = 4$.

Тогда $v = 2(4) - 8 = 0$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$$ \begin{cases} x^2+y^2 = 4 \\ xy = 0 \end{cases} $$

Из второго уравнения следует, что $x=0$ или $y=0$.

Если $x=0$, то из первого уравнения $y^2=4$, откуда $y = \pm 2$. Получаем решения $(0, 2)$ и $(0, -2)$.

Если $y=0$, то из первого уравнения $x^2=4$, откуда $x = \pm 2$. Получаем решения $(2, 0)$ и $(-2, 0)$.

Случай 2: $u = 5$.

Тогда $v = 2(5) - 8 = 2$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$$ \begin{cases} x^2+y^2 = 5 \\ xy = 2 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y=2/x$ и подставим в первое:

$x^2 + (2/x)^2 = 5$

$x^2 + 4/x^2 = 5$

Умножим на $x^2$ (где $x \neq 0$):

$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Пусть $z = x^2$, где $z > 0$.

$z^2 - 5z + 4 = 0$

Корни этого уравнения $z_1=1$ и $z_2=4$.

Если $z=1$, то $x^2=1$, откуда $x=\pm 1$.

При $x=1$, $y=2/1=2$. Решение $(1, 2)$.

При $x=-1$, $y=2/(-1)=-2$. Решение $(-1, -2)$.

Если $z=4$, то $x^2=4$, откуда $x=\pm 2$.

При $x=2$, $y=2/2=1$. Решение $(2, 1)$.

При $x=-2$, $y=2/(-2)=-1$. Решение $(-2, -1)$.

Ответ: $(2, 0), (-2, 0), (0, 2), (0, -2), (1, 2), (-1, -2), (2, 1), (-2, -1)$.

2)

Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} 10(x^4 + y^4) = -17(x^3y + xy^3) \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение, вынеся за скобки $xy$ в правой части:

$10(x^4 + y^4) = -17xy(x^2 + y^2)$

Из второго уравнения системы известно, что $x^2+y^2=5$. Подставим это значение в первое уравнение:

$10(x^4 + y^4) = -17xy \cdot 5$

$10(x^4 + y^4) = -85xy$

Разделим обе части на 5:

$2(x^4 + y^4) = -17xy$

Выразим $x^4+y^4$ через основные симметрические многочлены:

$x^4 + y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2$

Подставим известное значение $x^2+y^2=5$:

$x^4 + y^4 = 5^2 - 2(xy)^2 = 25 - 2(xy)^2$

Теперь подставим это выражение в преобразованное первое уравнение:

$2(25 - 2(xy)^2) = -17xy$

Введем замену $p = xy$.

$2(25 - 2p^2) = -17p$

$50 - 4p^2 = -17p$

$4p^2 - 17p - 50 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $p$, используя формулу для корней:

$D = (-17)^2 - 4(4)(-50) = 289 + 800 = 1089 = 33^2$

$p = \frac{17 \pm \sqrt{1089}}{2 \cdot 4} = \frac{17 \pm 33}{8}$

Получаем два возможных значения для $p$:

$p_1 = \frac{17+33}{8} = \frac{50}{8} = \frac{25}{4}$

$p_2 = \frac{17-33}{8} = \frac{-16}{8} = -2$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $xy = \frac{25}{4}$.

Имеем систему:

$$ \begin{cases} x^2+y^2 = 5 \\ xy = \frac{25}{4} \end{cases} $$

Рассмотрим выражение $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2 = (x^2+y^2) - 2xy$.

$(x-y)^2 = 5 - 2 \cdot \frac{25}{4} = 5 - \frac{25}{2} = -\frac{15}{2}$

Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, в этом случае система не имеет действительных решений.

Случай 2: $xy = -2$.

Имеем систему:

$$ \begin{cases} x^2+y^2 = 5 \\ xy = -2 \end{cases} $$

Из второго уравнения $y = -2/x$. Подставим в первое:

$x^2 + (-2/x)^2 = 5$

$x^2 + 4/x^2 = 5$

$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Сделаем замену $z=x^2$ ($z > 0$):

$z^2 - 5z + 4 = 0$

Корни этого уравнения: $z_1=1$, $z_2=4$.

Если $z=1$, то $x^2=1$, откуда $x=\pm 1$.

При $x=1$, $y=-2/1=-2$. Решение $(1, -2)$.

При $x=-1$, $y=-2/(-1)=2$. Решение $(-1, 2)$.

Если $z=4$, то $x^2=4$, откуда $x=\pm 2$.

При $x=2$, $y=-2/2=-1$. Решение $(2, -1)$.

При $x=-2$, $y=-2/(-2)=1$. Решение $(-2, 1)$.

Ответ: $(1, -2), (-1, 2), (2, -1), (-2, 1)$.