Номер 13.15, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.15, страница 135.

Условие.

13.15. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x + y + xy = 5, \\ x^2 + y^2 + xy = 7; \end{cases}$

2) $\begin{cases} xy + 2x + 2y = 5, \\ x^2 + y^2 + 3x + 3y = 8. \end{cases}$

Решение.

1)

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + y + xy = 5, \\ x^2 + y^2 + xy = 7 \end{cases} $$

Данная система является симметрической относительно переменных $x$ и $y$. Введем новые переменные, являющиеся элементарными симметрическими многочленами: $u = x + y$ и $v = xy$.

Выразим уравнения системы через $u$ и $v$.

Первое уравнение: $x + y + xy = 5$ преобразуется в $u + v = 5$.

Для второго уравнения используем тождество $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.

Второе уравнение: $x^2 + y^2 + xy = 7$ преобразуется в $(u^2 - 2v) + v = 7$, что упрощается до $u^2 - v = 7$.

Теперь мы имеем новую систему уравнений относительно $u$ и $v$:

$$ \begin{cases} u + v = 5, \\ u^2 - v = 7 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $v$: $v = 5 - u$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$u^2 - (5 - u) = 7$

$u^2 + u - 5 = 7$

$u^2 + u - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $u$. По теореме Виета, корни уравнения: $u_1 = 3$ и $u_2 = -4$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $u = 3$.

Тогда $v = 5 - u = 5 - 3 = 2$.

Возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x + y = 3, \\ xy = 2 \end{cases} $$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Следовательно, получаем две пары решений: $(1, 2)$ и $(2, 1)$.

Случай 2: $u = -4$.

Тогда $v = 5 - u = 5 - (-4) = 9$.

Возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x + y = -4, \\ xy = 9 \end{cases} $$

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-4)t + 9 = 0$, то есть $t^2 + 4t + 9 = 0$.

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20$.

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, в этом случае система не имеет действительных решений.

Таким образом, решениями исходной системы являются только пары чисел, полученные в первом случае.

Ответ: $(1, 2)$, $(2, 1)$.

2)

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} xy + 2x + 2y = 5, \\ x^2 + y^2 + 3x + 3y = 8 \end{cases} $$

Эта система также является симметрической. Используем замену $u = x + y$ и $v = xy$.

Преобразуем первое уравнение: $xy + 2(x+y) = 5$, что в новых переменных дает $v + 2u = 5$.

Преобразуем второе уравнение: $(x^2 + y^2) + 3(x+y) = 8$. Используя $x^2 + y^2 = u^2 - 2v$, получаем $(u^2 - 2v) + 3u = 8$.

Получаем систему уравнений для $u$ и $v$:

$$ \begin{cases} v + 2u = 5, \\ u^2 + 3u - 2v = 8 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $v$: $v = 5 - 2u$.

Подставим это во второе уравнение:

$u^2 + 3u - 2(5 - 2u) = 8$

$u^2 + 3u - 10 + 4u = 8$

$u^2 + 7u - 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $u$. Найдем корни через дискриминант:

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

$u_1 = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$u_2 = \frac{-7 - 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $u = 2$.

Тогда $v = 5 - 2u = 5 - 2(2) = 1$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x + y = 2, \\ xy = 1 \end{cases} $$

$x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - 2t + 1 = 0$, или $(t-1)^2 = 0$.

Уравнение имеет один корень $t = 1$.

Следовательно, $x = 1$ и $y = 1$. Получаем решение $(1, 1)$.

Случай 2: $u = -9$.

Тогда $v = 5 - 2u = 5 - 2(-9) = 5 + 18 = 23$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x + y = -9, \\ xy = 23 \end{cases} $$

$x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - (-9)t + 23 = 0$, то есть $t^2 + 9t + 23 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 23 = 81 - 92 = -11$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и в этом случае система не имеет решений.

Единственным решением исходной системы является пара чисел $(1, 1)$.

Ответ: $(1, 1)$.