Номер 12.24, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 12. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения - номер 12.24, страница 127.

Условие.

12.24. Постройте график функции $y = \sqrt{2x + 2\sqrt{x^2 - 1}} - \sqrt{x - 1}$.

Решение.

Постройте график функции $y = \sqrt{2x + 2\sqrt{x^2 - 1}} - \sqrt{x-1}$

1. Найдем область определения функции.

Функция определена, если все подкоренные выражения неотрицательны. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} x-1 \ge 0 \\ x^2-1 \ge 0 \\ 2x + 2\sqrt{x^2-1} \ge 0 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем $x \ge 1$.

Второе неравенство $(x-1)(x+1) \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.

Пересечение решений первых двух неравенств дает $x \ge 1$.

Проверим третье неравенство для $x \ge 1$. При таких значениях $x$, выражение $2x$ положительно, а $2\sqrt{x^2-1}$ неотрицательно. Их сумма всегда будет неотрицательной. Следовательно, третье неравенство выполняется для всех $x \ge 1$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = [1, +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции.

Рассмотрим выражение под первым корнем: $2x + 2\sqrt{x^2 - 1}$. Попробуем представить его в виде полного квадрата. Заметим, что $x^2-1 = (x-1)(x+1)$, а $2x = (x+1) + (x-1)$.

Тогда:

$2x + 2\sqrt{x^2 - 1} = (x+1) + 2\sqrt{(x+1)(x-1)} + (x-1)$

Это выражение является полным квадратом суммы $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$, где $a = x+1$ и $b = x-1$.

$(x+1) + 2\sqrt{(x+1)(x-1)} + (x-1) = (\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1})^2$

Теперь мы можем упростить первый член в исходной функции:

$\sqrt{2x + 2\sqrt{x^2 - 1}} = \sqrt{(\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1})^2} = |\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}|$

Так как на области определения $x \ge 1$, выражения $\sqrt{x+1}$ и $\sqrt{x-1}$ неотрицательны, их сумма также неотрицательна, поэтому модуль можно опустить:

$\sqrt{2x + 2\sqrt{x^2 - 1}} = \sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}$

Подставим это выражение обратно в исходную функцию:

$y = (\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}) - \sqrt{x-1} = \sqrt{x+1}$

Итак, на всей области определения исходная функция совпадает с функцией $y = \sqrt{x+1}$.

3. Построение графика.

Нам нужно построить график функции $y = \sqrt{x+1}$ при условии, что $x \ge 1$.

График функции $y = \sqrt{x+1}$ — это верхняя ветвь параболы $x = y^2 - 1$, которая открывается вправо с вершиной в точке $(-1, 0)$.

Однако, так как наша область определения $x \ge 1$, мы должны построить только ту часть этого графика, которая соответствует этому условию.

Найдем начальную точку графика. При $x=1$ (минимальное значение в области определения):

$y(1) = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$

Таким образом, график начинается в точке $(1, \sqrt{2})$.

Для построения найдем еще несколько точек:

• при $x=3$, $y = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(3, 2)$.
• при $x=8$, $y = \sqrt{8+1} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(8, 3)$.

График представляет собой кривую, выходящую из точки $(1, \sqrt{2})$ и плавно возрастающую вправо и вверх.

Ответ: Графиком функции является часть графика функции $y = \sqrt{x+1}$ при $x \ge 1$. Это кривая, которая начинается в точке $(1, \sqrt{2})$ и является частью верхней ветви параболы $x=y^2-1$.