Номер 12.22, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 12. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения - номер 12.22, страница 127.

Условие.

12.22. Решите систему уравнений

$\begin{cases} x^3 + 4y = y^3 + 16x, \\ \frac{1 + y^2}{1 + x^2} = 5. \end{cases}$

Решение.

Дана система уравнений:$$\begin{cases}x^3 + 4y = y^3 + 16x, \\\frac{1 + y^2}{1 + x^2} = 5.\end{cases}$$

Начнем со второго уравнения. Так как знаменатель $1 + x^2$ всегда положителен, мы можем домножить на него обе части уравнения:
$1 + y^2 = 5(1 + x^2)$
$1 + y^2 = 5 + 5x^2$
Отсюда выразим $y^2$:
$y^2 = 4 + 5x^2 \quad (1)$

Теперь преобразуем первое уравнение системы, сгруппировав члены с $x$ и $y$:
$x^3 - 16x = y^3 - 4y$
$x(x^2 - 16) = y(y^2 - 4) \quad (2)$

Подставим в уравнение (2) выражение для $y^2$ из уравнения (1). Точнее, воспользуемся тем, что $y^2 - 4 = (4 + 5x^2) - 4 = 5x^2$.
Уравнение (2) примет вид:
$x(x^2 - 16) = y(5x^2)$
$x(x^2 - 16) = 5x^2y$

Для решения этого уравнения рассмотрим два случая.
Первый случай: $x = 0$. Подставим это значение в уравнение (1):
$y^2 = 4 + 5 \cdot 0^2 \implies y^2 = 4$, откуда $y = 2$ или $y = -2$.
Получаем две пары решений: $(0, 2)$ и $(0, -2)$. Проверим их, подставив в первое исходное уравнение $x^3 + 4y = y^3 + 16x$.
Для $(0, 2)$: $0^3 + 4(2) = 2^3 + 16(0) \implies 8 = 8$. Верно.
Для $(0, -2)$: $0^3 + 4(-2) = (-2)^3 + 16(0) \implies -8 = -8$. Верно.
Таким образом, $(0, 2)$ и $(0, -2)$ являются решениями системы.

Второй случай: $x \neq 0$. В этом случае мы можем разделить уравнение $x(x^2 - 16) = 5x^2y$ на $x$:
$x^2 - 16 = 5xy$
Выразим $y$:
$y = \frac{x^2 - 16}{5x} \quad (3)$
Подставим это выражение для $y$ в уравнение (1):
$(\frac{x^2 - 16}{5x})^2 = 4 + 5x^2$
$\frac{(x^2 - 16)^2}{25x^2} = 4 + 5x^2$
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
$x^4 - 32x^2 + 256 = 25x^2(4 + 5x^2) = 100x^2 + 125x^4$
$124x^4 + 132x^2 - 256 = 0$
Разделим уравнение на 4:
$31x^4 + 33x^2 - 64 = 0$
Это биквадратное уравнение. Пусть $t = x^2$, где $t > 0$.
$31t^2 + 33t - 64 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Так как сумма коэффициентов $31 + 33 - 64 = 0$, то один корень $t_1 = 1$. Второй корень по теореме Виета $t_2 = \frac{-64}{31}$.
Условию $t > 0$ удовлетворяет только $t = 1$.
Следовательно, $x^2 = 1$, откуда $x = 1$ или $x = -1$.
Найдем соответствующие значения $y$ по формуле (3):
При $x = 1$, $y = \frac{1^2 - 16}{5 \cdot 1} = \frac{-15}{5} = -3$. Получаем решение $(1, -3)$.
При $x = -1$, $y = \frac{(-1)^2 - 16}{5 \cdot (-1)} = \frac{-15}{-5} = 3$. Получаем решение $(-1, 3)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем четыре пары чисел, которые являются решениями исходной системы.
Ответ: $(0, 2), (0, -2), (1, -3), (-1, 3)$.