Номер 12.16, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 12. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения - номер 12.16, страница 126.

Условие.

12.16. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2y + 6 = \frac{y^3}{x^2} \\ x^2y - 1 = \frac{4x^4}{y^2} \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x^8 = x^4y^4 + 1 \\ 3y^8 = x^4y^4 + 2 \end{cases} $

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2y + 6 = \frac{y^3}{x^2} \\ x^2y - 1 = \frac{4x^4}{y^2} \end{cases} $$

Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$.

Преобразуем уравнения, умножив их на знаменатели:

1) $x^2(x^2y + 6) = y^3 \implies x^4y + 6x^2 = y^3$

2) $y^2(x^2y - 1) = 4x^4 \implies x^2y^3 - y^2 = 4x^4$

Из второго преобразованного уравнения выразим $4x^4$ и подставим в него выражение для $x^2$ из первого уравнения. Сначала выразим $x^2$ из первого уравнения:

$$ x^2(x^2y + 6) = y^3 \implies x^2(y^3/y) + 6x^2 = y^3 $$ $$ y^3 = x^4y + 6x^2 $$

Из второго уравнения:

$$ 4x^4 = x^2y^3 - y^2 $$

Выразим $x^2$ из первого уравнения $x^4y + 6x^2 = y^3 \implies x^2(x^2y+6)=y^3$. Это не упрощает. Вернемся к другому подходу.

Из второго преобразованного уравнения $x^2y^3 - y^2 = 4x^4$ выразим $x^4$:

$$ x^4 = \frac{x^2y^3 - y^2}{4} $$

Подставим это выражение для $x^4$ в первое преобразованное уравнение $x^4y + 6x^2 = y^3$:

$$ \left(\frac{x^2y^3 - y^2}{4}\right)y + 6x^2 = y^3 $$

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби:

$$ (x^2y^3 - y^2)y + 24x^2 = 4y^3 $$ $$ x^2y^4 - y^3 + 24x^2 = 4y^3 $$ $$ x^2y^4 + 24x^2 = 5y^3 $$ $$ x^2(y^4 + 24) = 5y^3 $$

Отсюда выразим $x^2$:

$$ x^2 = \frac{5y^3}{y^4 + 24} $$

Теперь подставим выражение для $x^2$ и $x^4 = (x^2)^2$ в уравнение $x^2y^3 - y^2 = 4x^4$:

$$ \left(\frac{5y^3}{y^4 + 24}\right)y^3 - y^2 = 4\left(\frac{5y^3}{y^4 + 24}\right)^2 $$ $$ \frac{5y^6}{y^4 + 24} - y^2 = \frac{100y^6}{(y^4 + 24)^2} $$

Поскольку $y \neq 0$, разделим обе части на $y^2$:

$$ \frac{5y^4}{y^4 + 24} - 1 = \frac{100y^4}{(y^4 + 24)^2} $$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$$ \frac{5y^4 - (y^4 + 24)}{y^4 + 24} = \frac{100y^4}{(y^4 + 24)^2} $$ $$ \frac{4y^4 - 24}{y^4 + 24} = \frac{100y^4}{(y^4 + 24)^2} $$

Умножим обе части на $(y^4 + 24)$, так как $y^4+24>0$ для любого действительного $y$:

$$ 4y^4 - 24 = \frac{100y^4}{y^4 + 24} $$ $$ (4y^4 - 24)(y^4 + 24) = 100y^4 $$

Сделаем замену $t = y^4$. Так как $y \neq 0$, то $t > 0$.

$$ (4t - 24)(t + 24) = 100t $$ $$ 4t^2 + 96t - 24t - 576 = 100t $$ $$ 4t^2 + 72t - 576 = 100t $$ $$ 4t^2 - 28t - 576 = 0 $$

Разделим уравнение на 4:

$$ t^2 - 7t - 144 = 0 $$

Решим квадратное уравнение относительно $t$ с помощью теоремы Виета или дискриминанта:

$$ t = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(1)(-144)}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 576}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{7 \pm 25}{2} $$

Получаем два корня: $t_1 = \frac{7+25}{2} = 16$ и $t_2 = \frac{7-25}{2} = -9$.

Так как $t = y^4 > 0$, корень $t_2 = -9$ является посторонним.

Итак, $y^4 = 16$. Отсюда $y^2 = 4$, что дает $y=2$ или $y=-2$.

Рассмотрим оба случая:

1. Если $y = 2$, то $y^3=8$ и $y^4=16$. Найдем $x^2$:

$$ x^2 = \frac{5y^3}{y^4 + 24} = \frac{5(8)}{16 + 24} = \frac{40}{40} = 1 $$

Отсюда $x = 1$ или $x = -1$. Получаем две пары решений: $(1, 2)$ и $(-1, 2)$.

2. Если $y = -2$, то $y^3=-8$ и $y^4=16$. Найдем $x^2$:

$$ x^2 = \frac{5y^3}{y^4 + 24} = \frac{5(-8)}{16 + 24} = \frac{-40}{40} = -1 $$

Уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных решений.

Проверим найденные решения $(1, 2)$ и $(-1, 2)$. Поскольку в уравнения входят только $x^2$ и $x^4$, проверка для $x=1$ и $x=-1$ будет одинаковой.

Для пары $(1, 2)$ имеем: $x^2=1, y=2, x^4=1, y^2=4, y^3=8$.

Первое уравнение: $x^2y + 6 = 1 \cdot 2 + 6 = 8$. Правая часть: $\frac{y^3}{x^2} = \frac{8}{1} = 8$. Равенство $8=8$ верно.

Второе уравнение: $x^2y - 1 = 1 \cdot 2 - 1 = 1$. Правая часть: $\frac{4x^4}{y^2} = \frac{4 \cdot 1}{4} = 1$. Равенство $1=1$ верно.

Следовательно, обе пары являются решениями.

Ответ: $(1, 2), (-1, 2)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x^8 = x^4y^4 + 1 \\ 3y^8 = x^4y^4 + 2 \end{cases} $$

Сделаем замену переменных. Пусть $a = x^4$ и $b = y^4$. Поскольку $x$ и $y$ — действительные числа, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Тогда $x^8 = (x^4)^2 = a^2$ и $y^8 = (y^4)^2 = b^2$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} 2a^2 = ab + 1 \\ 3b^2 = ab + 2 \end{cases} $$

Заметим, что если $a=0$, то первое уравнение становится $0=1$, что неверно. Если $b=0$, то второе уравнение становится $0=2$, что неверно. Следовательно, $a > 0$ и $b > 0$.

Из первого уравнения выразим $b$ через $a$:

$$ ab = 2a^2 - 1 \implies b = \frac{2a^2 - 1}{a} $$

Подставим это выражение для $b$, а также выражение для $ab$, во второе уравнение $3b^2 = ab + 2$:

$$ 3\left(\frac{2a^2 - 1}{a}\right)^2 = (2a^2 - 1) + 2 $$ $$ 3\frac{4a^4 - 4a^2 + 1}{a^2} = 2a^2 + 1 $$

Умножим обе части на $a^2$:

$$ 3(4a^4 - 4a^2 + 1) = a^2(2a^2 + 1) $$ $$ 12a^4 - 12a^2 + 3 = 2a^4 + a^2 $$ $$ 10a^4 - 13a^2 + 3 = 0 $$

Сделаем еще одну замену $t = a^2$. Так как $a > 0$, то $t > 0$.

$$ 10t^2 - 13t + 3 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение:

$$ t = \frac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4(10)(3)}}{2(10)} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 120}}{20} = \frac{13 \pm \sqrt{49}}{20} = \frac{13 \pm 7}{20} $$

Получаем два корня: $t_1 = \frac{13+7}{20} = 1$ и $t_2 = \frac{13-7}{20} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.

Рассмотрим оба случая:

1. $t = 1$. Тогда $a^2 = 1$. Поскольку $a > 0$, получаем $a = 1$.

Найдем $b$:

$$ b = \frac{2a^2 - 1}{a} = \frac{2(1)^2 - 1}{1} = 1 $$

Возвращаемся к исходным переменным: $a = x^4 = 1$ и $b = y^4 = 1$.

Из $x^4 = 1$ следует, что $x = \pm 1$.

Из $y^4 = 1$ следует, что $y = \pm 1$.

Это дает нам четыре решения: $(1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)$.

2. $t = \frac{3}{10}$. Тогда $a^2 = \frac{3}{10}$. Поскольку $a > 0$, получаем $a = \sqrt{\frac{3}{10}}$.

Найдем $b$:

$$ b = \frac{2a^2 - 1}{a} = \frac{2(\frac{3}{10}) - 1}{\sqrt{\frac{3}{10}}} = \frac{\frac{3}{5} - 1}{\sqrt{\frac{3}{10}}} = \frac{-\frac{2}{5}}{\sqrt{\frac{3}{10}}} $$

Так как $b$ получилось отрицательным, а $b = y^4 \ge 0$, этот случай не дает действительных решений.

Проверим найденные решения. Для всех четырех решений $(\pm 1, \pm 1)$ имеем $x^4=1, y^4=1, x^8=1, y^8=1$.

Первое уравнение: $2x^8 = 2(1) = 2$. Правая часть: $x^4y^4 + 1 = 1 \cdot 1 + 1 = 2$. Равенство $2=2$ верно.

Второе уравнение: $3y^8 = 3(1) = 3$. Правая часть: $x^4y^4 + 2 = 1 \cdot 1 + 2 = 3$. Равенство $3=3$ верно.

Все четыре пары являются решениями.

Ответ: $(1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)$.