Номер 12.14, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 12. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения - номер 12.14, страница 126.

Условие.

12.14. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases}x^8y^6 = 64, \\x^6y^8 = 256;\end{cases}$

2) $\begin{cases}(x+y)(x-2y)^4 = 81, \\(x+y)^6(x-2y)^3 = 27;\end{cases}$

3) $\begin{cases}xy^3 + x^3y = -10, \\x^2y^4 + x^4y^2 = 20;\end{cases}$

4) $\begin{cases}x^2 + 3xy + x + 3y = 8, \\3y^2 + xy - 2x - 6y = -4;\end{cases}$

5) $\begin{cases}x^2 + xy - 2y^2 + x + 2y = -7, \\x^2 - 3xy + 2y^2 + x - 2y = 5;\end{cases}$

6) $\begin{cases}2x^2 + xy - 4x - 2y = 5, \\x^2 - 3xy - 2x + 6y = 6.\end{cases}$

Решение.

1)

Дана система уравнений:$\begin{cases}x^8y^6 = 64 \\x^6y^8 = 256\end{cases}$

Заметим, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Перемножим два уравнения системы:

$(x^8y^6)(x^6y^8) = 64 \cdot 256$

$x^{14}y^{14} = 2^6 \cdot 2^8 = 2^{14}$

$(xy)^{14} = 2^{14}$

Отсюда следует, что $xy = 2$ или $xy = -2$.

Теперь разделим второе уравнение системы на первое:

$\frac{x^6y^8}{x^8y^6} = \frac{256}{64}$

$\frac{y^2}{x^2} = 4$

$(\frac{y}{x})^2 = 4$

Отсюда следует, что $\frac{y}{x} = 2$ или $\frac{y}{x} = -2$, то есть $y = 2x$ или $y = -2x$.

Рассмотрим четыре возможных случая, комбинируя полученные соотношения:

1. Система $\begin{cases} xy = 2 \\ y = 2x \end{cases}$. Подставляя $y$ в первое уравнение, получаем $x(2x) = 2 \implies 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1$. Отсюда $x_1=1, y_1=2$ и $x_2=-1, y_2=-2$. Получаем решения $(1, 2)$ и $(-1, -2)$.

2. Система $\begin{cases} xy = 2 \\ y = -2x \end{cases}$. Подставляя, получаем $x(-2x) = 2 \implies -2x^2 = 2 \implies x^2 = -1$. В этом случае действительных решений нет.

3. Система $\begin{cases} xy = -2 \\ y = 2x \end{cases}$. Подставляя, получаем $x(2x) = -2 \implies 2x^2 = -2 \implies x^2 = -1$. В этом случае действительных решений нет.

4. Система $\begin{cases} xy = -2 \\ y = -2x \end{cases}$. Подставляя, получаем $x(-2x) = -2 \implies -2x^2 = -2 \implies x^2 = 1$. Отсюда $x_3=1, y_3=-2$ и $x_4=-1, y_4=2$. Получаем решения $(1, -2)$ и $(-1, 2)$.

Все четыре найденные пары чисел являются решениями исходной системы.

Ответ: $(1, 2), (-1, -2), (1, -2), (-1, 2)$.

2)

Дана система уравнений:$\begin{cases}(x+y)(x-2y)^4 = 81 \\(x+y)^6(x-2y)^3 = 27\end{cases}$

Введем замену переменных: пусть $u = x+y$ и $v = x-2y$. Система примет вид:

$\begin{cases}uv^4 = 81 \\u^6v^3 = 27\end{cases}$

Заметим, что $u \neq 0$ и $v \neq 0$. Из первого уравнения выразим $u = \frac{81}{v^4}$ и подставим во второе уравнение:

$(\frac{81}{v^4})^6 v^3 = 27$

$\frac{81^6}{v^{24}} v^3 = 27$

$\frac{(3^4)^6}{v^{21}} = 3^3$

$\frac{3^{24}}{v^{21}} = 3^3$

$v^{21} = \frac{3^{24}}{3^3} = 3^{21}$

Так как показатель степени нечетный, существует единственное действительное решение: $v = 3$.

Найдем $u$: $u = \frac{81}{v^4} = \frac{81}{3^4} = \frac{81}{81} = 1$.

Теперь вернемся к исходным переменным, решив систему:

$\begin{cases}x+y = 1 \\x-2y = 3\end{cases}$

Вычтем из первого уравнения второе: $(x+y) - (x-2y) = 1 - 3$, что дает $3y = -2$, откуда $y = -2/3$.

Подставим значение $y$ в первое уравнение: $x - 2/3 = 1$, откуда $x = 1 + 2/3 = 5/3$.

Ответ: $(5/3, -2/3)$.

3)

Дана система уравнений:$\begin{cases}xy^3 + x^3y = -10 \\x^2y^4 + x^4y^2 = 20\end{cases}$

Вынесем общие множители в каждом уравнении:

$\begin{cases}xy(y^2 + x^2) = -10 \\x^2y^2(y^2 + x^2) = 20\end{cases}$

Введем замену: пусть $a = xy$ и $b = x^2+y^2$. Система примет вид:

$\begin{cases}ab = -10 \\a^2b = 20\end{cases}$

Разделим второе уравнение на первое (заметим, что $a \neq 0, b \neq 0$): $\frac{a^2b}{ab} = \frac{20}{-10}$, что дает $a = -2$.

Подставим значение $a$ в первое уравнение: $(-2)b = -10$, откуда $b=5$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$\begin{cases}xy = -2 \\x^2+y^2 = 5\end{cases}$

Воспользуемся формулой $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$. Подставив известные значения, получим $(x+y)^2 = 5 + 2(-2) = 1$.

Отсюда $x+y = 1$ или $x+y = -1$.

1. Если $x+y=1$ и $xy=-2$, то $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - t - 2 = 0$. Его корни $t_1=2, t_2=-1$. Значит, решениями являются пары $(2, -1)$ и $(-1, 2)$.

2. Если $x+y=-1$ и $xy=-2$, то $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 + t - 2 = 0$. Его корни $t_1=1, t_2=-2$. Значит, решениями являются пары $(1, -2)$ и $(-2, 1)$.

Ответ: $(2, -1), (-1, 2), (1, -2), (-2, 1)$.

4)

Дана система уравнений:$\begin{cases}x^2 + 3xy + x + 3y = 8 \\3y^2 + xy - 2x - 6y = -4\end{cases}$

Разложим левые части уравнений на множители:

Первое уравнение: $x(x+1) + 3y(x+1) = (x+1)(x+3y) = 8$.

Второе уравнение: $y(3y+x) - 2(x+3y) = (y-2)(x+3y) = -4$.

Система принимает вид:

$\begin{cases}(x+1)(x+3y) = 8 \\(y-2)(x+3y) = -4\end{cases}$

Заметим, что $x+3y \neq 0$. Разделим первое уравнение на второе:

$\frac{(x+1)(x+3y)}{(y-2)(x+3y)} = \frac{8}{-4}$

$\frac{x+1}{y-2} = -2$

$x+1 = -2(y-2) \implies x+1 = -2y+4 \implies x = -2y+3$.

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение исходной системы $(y-2)(x+3y) = -4$:

$(y-2)((-2y+3)+3y) = -4$

$(y-2)(y+3) = -4$

$y^2 + 3y - 2y - 6 = -4$

$y^2 + y - 2 = 0$

$(y+2)(y-1) = 0$. Отсюда $y_1 = -2, y_2 = 1$.

Если $y_1 = -2$, то $x_1 = -2(-2)+3 = 4+3 = 7$. Решение $(7, -2)$.

Если $y_2 = 1$, то $x_2 = -2(1)+3 = -2+3 = 1$. Решение $(1, 1)$.

Ответ: $(7, -2), (1, 1)$.

5)

Дана система уравнений:$\begin{cases}x^2 + xy - 2y^2 + x + 2y = -7 \\x^2 - 3xy + 2y^2 + x - 2y = 5\end{cases}$

Сложим два уравнения системы:

$(x^2 + xy - 2y^2 + x + 2y) + (x^2 - 3xy + 2y^2 + x - 2y) = -7 + 5$

$2x^2 - 2xy + 2x = -2$

$x^2 - xy + x = -1$, или $x(x-y+1) = -1$.

Вычтем из первого уравнения второе:

$(x^2 + xy - 2y^2 + x + 2y) - (x^2 - 3xy + 2y^2 + x - 2y) = -7 - 5$

$4xy - 4y^2 + 4y = -12$

$xy - y^2 + y = -3$, или $y(x-y+1) = -3$.

Получили новую, более простую систему:

$\begin{cases}x(x-y+1) = -1 \\y(x-y+1) = -3\end{cases}$

Заметим, что $x-y+1 \neq 0$. Разделим второе уравнение на первое: $\frac{y(x-y+1)}{x(x-y+1)} = \frac{-3}{-1}$, откуда $\frac{y}{x}=3$, то есть $y=3x$.

Подставим $y=3x$ в первое уравнение новой системы $x(x-y+1)=-1$:

$x(x-3x+1) = -1$

$x(-2x+1) = -1$

$-2x^2+x = -1$

$2x^2-x-1 = 0$

Решаем квадратное уравнение: $x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4(2)(-1)}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}$.

$x_1 = \frac{1+3}{4} = 1$, тогда $y_1 = 3x_1 = 3$.

$x_2 = \frac{1-3}{4} = -1/2$, тогда $y_2 = 3x_2 = -3/2$.

Ответ: $(1, 3), (-1/2, -3/2)$.

6)

Дана система уравнений:$\begin{cases}2x^2 + xy - 4x - 2y = 5 \\x^2 - 3xy - 2x + 6y = 6\end{cases}$

Разложим левые части уравнений на множители методом группировки:

Первое уравнение: $(2x^2 - 4x) + (xy - 2y) = 2x(x-2) + y(x-2) = (2x+y)(x-2) = 5$.

Второе уравнение: $(x^2 - 2x) - (3xy - 6y) = x(x-2) - 3y(x-2) = (x-3y)(x-2) = 6$.

Система принимает вид:

$\begin{cases}(2x+y)(x-2) = 5 \\(x-3y)(x-2) = 6\end{cases}$

Обозначим $x-2 = u$. Тогда $x=u+2$. Система переписывается как:

$\begin{cases}(2x+y)u = 5 \\(x-3y)u = 6\end{cases}$

Отсюда $u \neq 0$, и мы можем выразить $2x+y = \frac{5}{u}$ и $x-3y = \frac{6}{u}$.

Подставим $x=u+2$ в эти выражения:

$\begin{cases}2(u+2)+y = 5/u \\(u+2)-3y = 6/u\end{cases} \implies \begin{cases}y = 5/u - 2u - 4 \\-3y = 6/u - u - 2\end{cases}$

Умножим первое уравнение на 3: $3y = 15/u - 6u - 12$. Из второго уравнения $-3y = 6/u - u - 2 \implies 3y = u+2-6/u$.

Приравняем выражения для $3y$:

$15/u - 6u - 12 = u+2-6/u$

$21/u = 7u + 14$

Разделим на 7: $3/u = u+2$.

Умножим на $u$: $3 = u^2+2u$, что приводит к квадратному уравнению $u^2+2u-3=0$.

Корни этого уравнения: $u_1=1, u_2=-3$.

1. Если $u=1$, то $x = u+2 = 3$. Тогда $y = 5/u - 2u - 4 = 5/1 - 2(1) - 4 = 5-2-4 = -1$. Получаем решение $(3, -1)$.

2. Если $u=-3$, то $x = u+2 = -1$. Тогда $y = 5/u - 2u - 4 = 5/(-3) - 2(-3) - 4 = -5/3 + 6 - 4 = -5/3 + 2 = 1/3$. Получаем решение $(-1, 1/3)$.

Ответ: $(3, -1), (-1, 1/3)$.