Номер 12.8, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 12. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения - номер 12.8, страница 125.

Условие.

12.8. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases}2x^2 - 3xy + 5y = 5, \\(x - 2)(y - 1) = 0;\end{cases}$

2) $\begin{cases}(x - 1)y = 2x - 2, \\x^2 + y^2 + 3xy = 4;\end{cases}$

3) $\begin{cases}2x^2 - xy - 3y = 7, \\2x^2 + x - 3 = (x - 1)(y + 5);\end{cases}$

4) $\begin{cases}x^2 - 2xy + y^2 = 9, \\4x^2 + xy + 4y^2 = 18.\end{cases}$

Решение.

1) Исходная система уравнений:

$\begin{cases}2x^2 - 3xy + 5y = 5 \\(x - 2)(y - 1) = 0\end{cases}$

Второе уравнение системы означает, что один из множителей равен нулю. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x - 2 = 0$, откуда $x = 2$.

Подставим $x = 2$ в первое уравнение системы:

$2(2)^2 - 3(2)y + 5y = 5$

$2 \cdot 4 - 6y + 5y = 5$

$8 - y = 5$

$y = 8 - 5$

$y = 3$

Получили первое решение: $(2; 3)$.

Случай 2: $y - 1 = 0$, откуда $y = 1$.

Подставим $y = 1$ в первое уравнение системы:

$2x^2 - 3x(1) + 5(1) = 5$

$2x^2 - 3x + 5 = 5$

$2x^2 - 3x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(2x - 3) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 0$

$2x_2 - 3 = 0 \Rightarrow 2x_2 = 3 \Rightarrow x_2 = 1,5$

Получили еще два решения: $(0; 1)$ и $(1,5; 1)$.

Ответ: $(2; 3)$, $(0; 1)$, $(1,5; 1)$.

2) Исходная система уравнений:

$\begin{cases}(x - 1)y = 2x - 2 \\x^2 + y^2 + 3xy = 4\end{cases}$

Преобразуем первое уравнение:

$(x - 1)y = 2(x - 1)$

$(x - 1)y - 2(x - 1) = 0$

$(x - 1)(y - 2) = 0$

Это уравнение также распадается на два случая.

Случай 1: $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$.

Подставим $x = 1$ во второе уравнение системы:

$(1)^2 + y^2 + 3(1)y = 4$

$1 + y^2 + 3y = 4$

$y^2 + 3y - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $y$:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-3) = 9 + 12 = 21$

$y_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2}$

Получили два решения: $(1; \frac{-3 + \sqrt{21}}{2})$ и $(1; \frac{-3 - \sqrt{21}}{2})$.

Случай 2: $y - 2 = 0$, откуда $y = 2$.

Подставим $y = 2$ во второе уравнение системы:

$x^2 + (2)^2 + 3x(2) = 4$

$x^2 + 4 + 6x = 4$

$x^2 + 6x = 0$

$x(x + 6) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = -6$

Получили еще два решения: $(0; 2)$ и $(-6; 2)$.

Ответ: $(1; \frac{-3 + \sqrt{21}}{2})$, $(1; \frac{-3 - \sqrt{21}}{2})$, $(0; 2)$, $(-6; 2)$.

3) Исходная система уравнений:

$\begin{cases}2x^2 - xy - 3y = 7 \\2x^2 + x - 3 = (x - 1)(y + 5)\end{cases}$

Упростим второе уравнение, раскрыв скобки:

$2x^2 + x - 3 = xy + 5x - y - 5$

$2x^2 - xy + y - 4x + 2 = 0$

Теперь система имеет вид:

$\begin{cases}2x^2 - xy - 3y = 7 \\2x^2 - xy + y - 4x + 2 = 0\end{cases}$

Выразим $2x^2 - xy$ из первого уравнения: $2x^2 - xy = 7 + 3y$.

Подставим это выражение в преобразованное второе уравнение:

$(7 + 3y) + y - 4x + 2 = 0$

$4y - 4x + 9 = 0$

$4y = 4x - 9$

$y = x - \frac{9}{4}$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое исходное уравнение:

$2x^2 - x(x - \frac{9}{4}) - 3(x - \frac{9}{4}) = 7$

$2x^2 - x^2 + \frac{9}{4}x - 3x + \frac{27}{4} = 7$

$x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{27}{4} = 7$

Умножим все уравнение на 4:

$4x^2 - 3x + 27 = 28$

$4x^2 - 3x - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $x$:

$D = (-3)^2 - 4(4)(-1) = 9 + 16 = 25$

$x_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 + 5}{8} = \frac{8}{8} = 1$

$x_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 - 5}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$

Найдем соответствующие значения $y$, используя $y = x - \frac{9}{4}$:

Для $x_1 = 1$: $y_1 = 1 - \frac{9}{4} = \frac{4}{4} - \frac{9}{4} = -\frac{5}{4}$.

Для $x_2 = -\frac{1}{4}$: $y_2 = -\frac{1}{4} - \frac{9}{4} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2}$.

Ответ: $(1; -\frac{5}{4})$, $(-\frac{1}{4}; -\frac{5}{2})$.

4) Исходная система уравнений:

$\begin{cases}x^2 - 2xy + y^2 = 9 \\4x^2 + xy + 4y^2 = 18\end{cases}$

Первое уравнение является формулой квадрата разности:

$(x - y)^2 = 9$

Отсюда следует два возможных случая:

1) $x - y = 3 \Rightarrow x = y + 3$

2) $x - y = -3 \Rightarrow x = y - 3$

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $x = y + 3$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$4(y + 3)^2 + (y + 3)y + 4y^2 = 18$

$4(y^2 + 6y + 9) + y^2 + 3y + 4y^2 = 18$

$4y^2 + 24y + 36 + y^2 + 3y + 4y^2 = 18$

$9y^2 + 27y + 18 = 0$

Разделим уравнение на 9:

$y^2 + 3y + 2 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $y_1 = -1$ и $y_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = -1$, то $x_1 = -1 + 3 = 2$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 3 = 1$.

Получили два решения: $(2; -1)$ и $(1; -2)$.

Случай 2: $x = y - 3$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$4(y - 3)^2 + (y - 3)y + 4y^2 = 18$

$4(y^2 - 6y + 9) + y^2 - 3y + 4y^2 = 18$

$4y^2 - 24y + 36 + y^2 - 3y + 4y^2 = 18$

$9y^2 - 27y + 18 = 0$

Разделим уравнение на 9:

$y^2 - 3y + 2 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $y_3 = 1$ и $y_4 = 2$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_3 = 1$, то $x_3 = 1 - 3 = -2$.

Если $y_4 = 2$, то $x_4 = 2 - 3 = -1$.

Получили еще два решения: $(-2; 1)$ и $(-1; 2)$.

Ответ: $(2; -1)$, $(1; -2)$, $(-2; 1)$, $(-1; 2)$.