Номер 12.6, страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 12. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения - номер 12.6, страница 124.

Условие.

12.6. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x + y^3 = 2, \\ 2x + x^2 + 5y^3 = 8; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^3 + y = 1, \\ y^3 + x^6 = (2y - 1)^2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ y^3 + x^2y + y^2 = 6. \end{cases}$

Решение.

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y^3 = 2 \\ 2x + x^2 + 5y^3 = 8 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 2 - y^3$.

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:
$2(2 - y^3) + (2 - y^3)^2 + 5y^3 = 8$

Раскроем скобки и упростим уравнение:
$4 - 2y^3 + (4 - 4y^3 + y^6) + 5y^3 = 8$
$y^6 + (-2 - 4 + 5)y^3 + (4 + 4) = 8$
$y^6 - y^3 + 8 = 8$
$y^6 - y^3 = 0$

Вынесем общий множитель $y^3$ за скобки:
$y^3(y^3 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1) $y^3 = 0$, откуда $y = 0$.
2) $y^3 - 1 = 0$, откуда $y^3 = 1$, и $y = 1$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя формулу $x = 2 - y^3$:
При $y = 0$, $x = 2 - 0^3 = 2$. Получаем пару чисел $(2, 0)$.
При $y = 1$, $x = 2 - 1^3 = 1$. Получаем пару чисел $(1, 1)$.

Проверка показывает, что обе пары являются решениями системы.

Ответ: $(2, 0)$, $(1, 1)$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^3 + y = 1 \\ y^3 + x^6 = (2y - 1)^2 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 1 - x^3$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$(1 - x^3)^3 + x^6 = (2(1 - x^3) - 1)^2$

Упростим правую часть уравнения:
$(2 - 2x^3 - 1)^2 = (1 - 2x^3)^2$

Теперь уравнение имеет вид:
$(1 - x^3)^3 + x^6 = (1 - 2x^3)^2$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:
$(1 - 3x^3 + 3x^6 - x^9) + x^6 = 1 - 4x^3 + 4x^6$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть:
$1 - 3x^3 + 4x^6 - x^9 - 1 + 4x^3 - 4x^6 = 0$
$-x^9 + x^3 = 0$
$x^9 - x^3 = 0$

Вынесем $x^3$ за скобки:
$x^3(x^6 - 1) = 0$

Отсюда получаем:
1) $x^3 = 0 \implies x = 0$.
2) $x^6 - 1 = 0 \implies x^6 = 1 \implies x = 1$ или $x = -1$.

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 1 - x^3$:
Если $x = 0$, то $y = 1 - 0^3 = 1$. Решение: $(0, 1)$.
Если $x = 1$, то $y = 1 - 1^3 = 0$. Решение: $(1, 0)$.
Если $x = -1$, то $y = 1 - (-1)^3 = 1 - (-1) = 2$. Решение: $(-1, 2)$.

Ответ: $(0, 1)$, $(1, 0)$, $(-1, 2)$.

3)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ y^3 + x^2y + y^2 = 6 \end{cases} $

Рассмотрим второе уравнение. Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем $y$ за скобки:
$y(y^2 + x^2) + y^2 = 6$

Заметим, что выражение в скобках, $x^2 + y^2$, согласно первому уравнению, равно 5. Подставим это значение во второе уравнение:
$y \cdot 5 + y^2 = 6$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 + 5y - 6 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а произведение -6. Корни уравнения:
$y_1 = 1$
$y_2 = -6$

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующие значения $x$ из первого уравнения $x^2 + y^2 = 5$.
1) При $y = 1$:
$x^2 + 1^2 = 5$
$x^2 = 4$
$x = \pm 2$.
Получаем два решения: $(2, 1)$ и $(-2, 1)$.

2) При $y = -6$:
$x^2 + (-6)^2 = 5$
$x^2 + 36 = 5$
$x^2 = -31$
Это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(2, 1)$, $(-2, 1)$.