Номер 12.1, страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 12. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения - номер 12.1, страница 124.

Условие.

12.1. Решите методом подстановки систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x - 4y = 2 \\ xy + 2y = 8 \end{cases} $

2) $ \begin{cases} xy = 15 \\ 2x - y = 7 \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x - y = 4 \\ x^2 + y^2 = 8 \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 3x + 4y = 24 \\ xy = 12 \end{cases} $

5) $ \begin{cases} y + 2x = 0 \\ x^2 + y^2 - 6y = 0 \end{cases} $

6) $ \begin{cases} 4y - 3x = 4 \\ 5x^2 + 16y = 60 \end{cases} $

Решение.

1)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x - 4y = 2 \\ xy + 2y = 8 \end{cases}$

Метод подстановки заключается в том, чтобы выразить одну переменную через другую из одного уравнения и подставить это выражение в другое уравнение.

Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 2 + 4y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(2 + 4y)y + 2y = 8$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$:

$2y + 4y^2 + 2y = 8$

$4y^2 + 4y - 8 = 0$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:

$y^2 + y - 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -2. Легко подобрать корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя выражение $x = 2 + 4y$:

При $y_1 = 1$:

$x_1 = 2 + 4(1) = 2 + 4 = 6$

При $y_2 = -2$:

$x_2 = 2 + 4(-2) = 2 - 8 = -6$

Таким образом, мы получили две пары решений.

Ответ: $(6; 1)$, $(-6; -2)$.

2)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} xy = 15 \\ 2x - y = 7 \end{cases}$

Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = 2x - 7$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x(2x - 7) = 15$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$2x^2 - 7x = 15$

$2x^2 - 7x - 15 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4(2)(-15) = 49 + 120 = 169 = 13^2$

Найдем корни $x$:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$ по формуле $y = 2x - 7$:

При $x_1 = 5$:

$y_1 = 2(5) - 7 = 10 - 7 = 3$

При $x_2 = -\frac{3}{2}$:

$y_2 = 2(-\frac{3}{2}) - 7 = -3 - 7 = -10$

Получили две пары решений.

Ответ: $(5; 3)$, $(-\frac{3}{2}; -10)$.

3)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x - y = 4 \\ x^2 + y^2 = 8 \end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 4 + y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(4 + y)^2 + y^2 = 8$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$16 + 8y + y^2 + y^2 = 8$

Приведем подобные слагаемые и решим уравнение:

$2y^2 + 8y + 16 - 8 = 0$

$2y^2 + 8y + 8 = 0$

Разделим обе части на 2:

$y^2 + 4y + 4 = 0$

Это выражение является полным квадратом:

$(y + 2)^2 = 0$

Отсюда находим $y$:

$y + 2 = 0 \implies y = -2$

Теперь найдем соответствующее значение $x$:

$x = 4 + y = 4 + (-2) = 2$

Система имеет одно решение.

Ответ: $(2; -2)$.

4)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 3x + 4y = 24 \\ xy = 12 \end{cases}$

Выразим $y$ из второго уравнения (при условии $x \neq 0$):

$y = \frac{12}{x}$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3x + 4(\frac{12}{x}) = 24$

$3x + \frac{48}{x} = 24$

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от знаменателя:

$3x^2 + 48 = 24x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$3x^2 - 24x + 48 = 0$

Разделим обе части на 3:

$x^2 - 8x + 16 = 0$

Это выражение является полным квадратом:

$(x - 4)^2 = 0$

Отсюда находим $x$:

$x - 4 = 0 \implies x = 4$

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

$y = \frac{12}{x} = \frac{12}{4} = 3$

Система имеет одно решение.

Ответ: $(4; 3)$.

5)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} y + 2x = 0 \\ x^2 + y^2 - 6y = 0 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = -2x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^2 + (-2x)^2 - 6(-2x) = 0$

Упростим полученное уравнение:

$x^2 + 4x^2 + 12x = 0$

$5x^2 + 12x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем $x$ за скобки:

$x(5x + 12) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = 0$

$5x + 12 = 0 \implies 5x = -12 \implies x_2 = -\frac{12}{5}$

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$ по формуле $y = -2x$:

При $x_1 = 0$:

$y_1 = -2(0) = 0$

При $x_2 = -\frac{12}{5}$:

$y_2 = -2(-\frac{12}{5}) = \frac{24}{5}$

Система имеет два решения.

Ответ: $(0; 0)$, $(-\frac{12}{5}; \frac{24}{5})$.

6)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 4y - 3x = 4 \\ 5x^2 + 16y = 60 \end{cases}$

Из первого уравнения удобно выразить $4y$:

$4y = 4 + 3x$

Во втором уравнении есть слагаемое $16y$, которое равно $4 \cdot (4y)$. Подставим выражение для $4y$:

$5x^2 + 4(4y) = 60$

$5x^2 + 4(4 + 3x) = 60$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$5x^2 + 16 + 12x = 60$

$5x^2 + 12x + 16 - 60 = 0$

$5x^2 + 12x - 44 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 12^2 - 4(5)(-44) = 144 + 880 = 1024 = 32^2$

Найдем корни $x$:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + 32}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - 32}{2 \cdot 5} = \frac{-44}{10} = -\frac{22}{5}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$. Из выражения $4y = 4 + 3x$ следует, что $y = \frac{4 + 3x}{4}$.

При $x_1 = 2$:

$y_1 = \frac{4 + 3(2)}{4} = \frac{4 + 6}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

При $x_2 = -\frac{22}{5}$:

$y_2 = \frac{4 + 3(-\frac{22}{5})}{4} = \frac{4 - \frac{66}{5}}{4} = \frac{\frac{20-66}{5}}{4} = \frac{-\frac{46}{5}}{4} = -\frac{46}{20} = -\frac{23}{10}$

Система имеет два решения.

Ответ: $(2; \frac{5}{2})$, $(-\frac{22}{5}; -\frac{23}{10})$.