Номер 11.15, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 11. Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 11.15, страница 118.

Условие.

11.15. Найдите наименьшее значение параметра с, при котором система уравнений$\begin{cases}(x-c\sqrt{3})^2 + y^2 - 2y = 0, \\\sqrt{3}|x| - y = 4\end{cases}$имеет единственное решение.

Решение.

Преобразуем уравнения системы для геометрической интерпретации.

Первое уравнение $(x - c\sqrt{3})^2 + y^2 - 2y = 0$ можно переписать, выделив полный квадрат для переменной $y$: $(x - c\sqrt{3})^2 + (y^2 - 2y + 1) - 1 = 0$, что равносильно $(x - c\sqrt{3})^2 + (y - 1)^2 = 1$. Это уравнение окружности с центром в точке $O(c\sqrt{3}; 1)$ и радиусом $R=1$.

Второе уравнение $\sqrt{3}|x| - y = 4$ можно представить в виде $y = \sqrt{3}|x| - 4$. График этой функции представляет собой объединение двух лучей, исходящих из точки $(0; -4)$: луча $y = \sqrt{3}x - 4$ при $x \ge 0$ и луча $y = -\sqrt{3}x - 4$ при $x < 0$.

Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность имеет ровно одну общую точку с объединением этих двух лучей. Это возможно, если окружность касается одного из лучей и не пересекает другой.

Условием касания окружности и прямой является равенство расстояния от центра окружности до прямой ее радиусу. Запишем уравнения прямых, содержащих лучи, в общем виде:

$l_1: \sqrt{3}x - y - 4 = 0$

$l_2: \sqrt{3}x + y + 4 = 0$

Расстояние от центра окружности $O(c\sqrt{3}; 1)$ до прямой $l_1$ равно $d_1 = \frac{|\sqrt{3}(c\sqrt{3}) - 1 - 4|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = \frac{|3c - 5|}{2}$.

Расстояние от центра $O(c\sqrt{3}; 1)$ до прямой $l_2$ равно $d_2 = \frac{|\sqrt{3}(c\sqrt{3}) + 1 + 4|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} = \frac{|3c + 5|}{2}$.

Рассмотрим случай касания с прямой $l_1$. Для этого необходимо, чтобы $d_1 = R = 1$.

$\frac{|3c - 5|}{2} = 1 \Rightarrow |3c - 5| = 2$. Отсюда $3c - 5 = 2$ или $3c - 5 = -2$, что дает $c = \frac{7}{3}$ и $c = 1$. При этих значениях $c$ абсцисса центра окружности $x_0 = c\sqrt{3}$ положительна, значит, точка касания находится на луче, где $x \ge 0$.

При $c = \frac{7}{3}$ расстояние до второй прямой $d_2 = \frac{|3(\frac{7}{3}) + 5|}{2} = 6 > 1$, так что пересечения со второй прямой нет. Следовательно, имеется единственное решение.

При $c = 1$ расстояние до второй прямой $d_2 = \frac{|3(1) + 5|}{2} = 4 > 1$, пересечения нет. Следовательно, имеется единственное решение.

Теперь рассмотрим случай касания с прямой $l_2$. Для этого необходимо, чтобы $d_2 = R = 1$.

$\frac{|3c + 5|}{2} = 1 \Rightarrow |3c + 5| = 2$. Отсюда $3c + 5 = 2$ или $3c + 5 = -2$, что дает $c = -1$ и $c = -\frac{7}{3}$. При этих значениях $c$ абсцисса центра окружности $x_0 = c\sqrt{3}$ отрицательна, значит, точка касания находится на луче, где $x < 0$.

При $c = -1$ расстояние до первой прямой $d_1 = \frac{|3(-1) - 5|}{2} = 4 > 1$, пересечения нет. Следовательно, имеется единственное решение.

При $c = -\frac{7}{3}$ расстояние до первой прямой $d_1 = \frac{|3(-\frac{7}{3}) - 5|}{2} = 6 > 1$, пересечения нет. Следовательно, имеется единственное решение.

Таким образом, система имеет единственное решение при $c \in \{-\frac{7}{3}, -1, 1, \frac{7}{3}\}$.

Наименьшее значение из этого множества — это $-\frac{7}{3}$.

Ответ: $-\frac{7}{3}$