Вопросы?, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 12. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения - страница 123.

Условие.

1. Какие две системы уравнений называют равносильными?

2. Какую систему уравнений называют следствием данной?

3. Сформулируйте теорему, позволяющую решать системы уравнений с двумя переменными методом подстановки.

4. Сформулируйте теорему, позволяющую решать системы уравнений с двумя переменными методом почленного сложения левых и правых частей уравнений системы.

5. Сформулируйте теорему, позволяющую решать системы уравнений с двумя переменными методом почленного умножения и деления левых и правых частей уравнений системы.

Решение.

1. Какие две системы уравнений называют равносильными?

Две системы уравнений называют равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Это означает, что любое решение первой системы является решением второй системы, и наоборот, любое решение второй системы является решением первой. Системы, которые не имеют решений, также считаются равносильными.

Ответ: Две системы уравнений равносильны, если у них одинаковые множества решений.

2. Какую систему уравнений называют следствием данной?

Систему уравнений (2) называют следствием системы уравнений (1), если каждое решение системы (1) также является решением системы (2). Множество решений системы-следствия включает в себя множество решений исходной системы. При переходе к системе-следствию возможно появление "посторонних" решений, которые не удовлетворяют исходной системе.

Ответ: Систему называют следствием данной, если все решения данной системы являются решениями системы-следствия.

3. Сформулируйте теорему, позволяющую решать системы уравнений с двумя переменными методом подстановки.

Если в системе уравнений с двумя переменными $x$ и $y$ одно из уравнений равносильно уравнению вида $y = f(x)$ (то есть одна переменная выражена через другую), то исходная система равносильна системе, состоящей из уравнения $y = f(x)$ и уравнения, полученного подстановкой выражения $f(x)$ вместо $y$ во второе уравнение исходной системы.

Ответ: Теорема о подстановке: если из одного уравнения системы выразить одну переменную через другую и подставить это выражение в другое уравнение, оставив первое уравнение без изменений, то полученная система будет равносильна исходной.

4. Сформулируйте теорему, позволяющую решать системы уравнений с двумя переменными методом почленного сложения левых и правых частей уравнений системы.

Если одно из уравнений системы заменить на сумму этого уравнения и любого другого уравнения системы (возможно, умноженного на число, отличное от нуля), а остальные уравнения оставить без изменений, то полученная система будет равносильна исходной.

Система $ \begin{cases} f_1(x, y) = g_1(x, y) \\ f_2(x, y) = g_2(x, y) \end{cases} $ равносильна системе $ \begin{cases} f_1(x, y) + k \cdot f_2(x, y) = g_1(x, y) + k \cdot g_2(x, y) \\ f_2(x, y) = g_2(x, y) \end{cases} $ для любого числа $k$.

Ответ: Теорема об алгебраическом сложении: если заменить одно из уравнений системы на его сумму с другим уравнением системы (возможно, предварительно умноженным на число), а другое уравнение оставить без изменений, то полученная система будет равносильна исходной.

5. Сформулируйте теорему, позволяющую решать системы уравнений с двумя переменными методом почленного умножения и деления левых и правых частей уравнений системы.

Если обе части одного из уравнений системы ($f_2(x, y) = g_2(x, y)$) не обращаются в нуль на множестве решений системы, то, заменив другое уравнение ($f_1(x, y) = g_1(x, y)$) на результат его почленного умножения или деления на уравнение $f_2(x, y) = g_2(x, y)$, мы получим систему, равносильную исходной.

Преобразование к системе $ \begin{cases} f_1(x, y) \cdot f_2(x, y) = g_1(x, y) \cdot g_2(x, y) \\ f_2(x, y) = g_2(x, y) \end{cases} $ (умножение) или к системе $ \begin{cases} \frac{f_1(x, y)}{f_2(x, y)} = \frac{g_1(x, y)}{g_2(x, y)} \\ f_2(x, y) = g_2(x, y) \end{cases} $ (деление) является равносильным только при условии, что $f_2(x, y) \ne 0$ (и, следовательно, $g_2(x, y) \ne 0$). Если это условие не выполняется, преобразование может привести к потере решений или появлению посторонних.

Ответ: Теорема о почленном умножении/делении: если заменить одно из уравнений системы на результат его почленного умножения (или деления) на другое уравнение, левая и правая части которого не равны нулю, а второе уравнение оставить без изменений, то полученная система будет равносильна исходной.