Номер 12.5, страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 12. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения - номер 12.5, страница 124.

Условие.

12.5. Решите систему уравнений:

1)

$$ \begin{cases} x + y^2 = 2, \\ 2y^2 + x^2 = 3; \end{cases} $$

2)

$$ \begin{cases} x + y^2 = 3, \\ x^4 + y^4 + 6x = 29; \end{cases} $$

3)

$$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 2, \\ x^3 - xy^2 + x^2 = 3. \end{cases} $$

Решение.

1)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y^2 = 2, \\ 2y^2 + x^2 = 3. \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $y^2$:
$y^2 = 2 - x$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$2(2 - x) + x^2 = 3$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$4 - 2x + x^2 = 3$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
Это полный квадрат разности:
$(x - 1)^2 = 0$
Отсюда находим единственное значение для $x$:
$x = 1$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x = 1$ в выражение $y^2 = 2 - x$:
$y^2 = 2 - 1 = 1$
$y_1 = 1$, $y_2 = -1$.
Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1; 1), (1; -1)$.

2)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y^2 = 3, \\ x^4 + y^4 + 6x = 29. \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $y^2$:
$y^2 = 3 - x$.
Тогда $y^4$ можно выразить как $(y^2)^2$:
$y^4 = (3 - x)^2 = 9 - 6x + x^2$.
Подставим выражения для $y^4$ во второе уравнение системы:
$x^4 + (9 - 6x + x^2) + 6x = 29$
$x^4 + x^2 - 6x + 6x + 9 = 29$
$x^4 + x^2 - 20 = 0$.
Получили биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.
$t^2 + t - 20 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $-1$, произведение равно $-20$. Корни:
$t_1 = 4$, $t_2 = -5$.
Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому отбрасываем его.
Возвращаемся к переменной $x$:
$x^2 = 4$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x$.
1. Если $x = 2$:
$y^2 = 3 - 2 = 1 \implies y = \pm 1$.
Получаем два решения: $(2; 1)$ и $(2; -1)$.
2. Если $x = -2$:
$y^2 = 3 - (-2) = 5 \implies y = \pm \sqrt{5}$.
Получаем еще два решения: $(-2; \sqrt{5})$ и $(-2; -\sqrt{5})$.

Ответ: $(2; 1), (2; -1), (-2; \sqrt{5}), (-2; -\sqrt{5})$.

3)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 2, \\ x^3 - xy^2 + x^2 = 3. \end{cases} $$ Преобразуем второе уравнение, вынеся $x$ за скобки в первых двух слагаемых:
$x(x^2 - y^2) + x^2 = 3$.
Теперь мы можем подставить в это уравнение выражение $x^2 - y^2$ из первого уравнения системы, которое равно 2:
$x \cdot 2 + x^2 = 3$
$x^2 + 2x - 3 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а произведение равно $-3$. Корни:
$x_1 = 1$, $x_2 = -3$.
Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$.
1. Если $x = 1$:
Подставим это значение в первое уравнение системы:
$1^2 - y^2 = 2$
$1 - y^2 = 2$
$y^2 = -1$.
Это уравнение не имеет действительных корней.
2. Если $x = -3$:
Подставим это значение в первое уравнение системы:
$(-3)^2 - y^2 = 2$
$9 - y^2 = 2$
$y^2 = 7$
$y = \pm \sqrt{7}$.
Таким образом, получаем два решения.

Ответ: $(-3; \sqrt{7}), (-3; -\sqrt{7})$.