Номер 12.11, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 12. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения - номер 12.11, страница 125.

Условие.

12.11. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 3x^2 + 3y^2 - 11x - 7y + 10 = 0, \\ x^2 + y^2 - 4x - 3y + 5 = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^3 + 2x^2y + xy^2 - x - y = 2, \\ y^3 + 2xy^2 + x^2y + x + y = 6; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - x + 1 = y, \\ y^2 - y + 1 = x; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^3 + 3x^2y + 3xy^2 = 1, \\ y^3 + x + y = 1. \end{cases}$

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x^2 + 3y^2 - 11x - 7y + 10 = 0 \\ x^2 + y^2 - 4x - 3y + 5 = 0 \end{cases} $

Для решения системы используем метод сложения. Умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $x^2$ и $y^2$ совпали с первым уравнением:

$3(x^2 + y^2 - 4x - 3y + 5) = 0$

$3x^2 + 3y^2 - 12x - 9y + 15 = 0$

Теперь вычтем полученное уравнение из первого уравнения системы:

$(3x^2 + 3y^2 - 11x - 7y + 10) - (3x^2 + 3y^2 - 12x - 9y + 15) = 0$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$-11x + 12x - 7y + 9y + 10 - 15 = 0$

$x + 2y - 5 = 0$

Из этого линейного уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 5 - 2y$

Подставим это выражение для $x$ во второе (более простое) уравнение исходной системы:

$(5 - 2y)^2 + y^2 - 4(5 - 2y) - 3y + 5 = 0$

$(25 - 20y + 4y^2) + y^2 - 20 + 8y - 3y + 5 = 0$

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$(4y^2 + y^2) + (-20y + 8y - 3y) + (25 - 20 + 5) = 0$

$5y^2 - 15y + 10 = 0$

Разделим все уравнение на 5:

$y^2 - 3y + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Корни можно найти по теореме Виета: сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Отсюда $y_1 = 1$, $y_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого значения $y$:

При $y_1 = 1$, $x_1 = 5 - 2(1) = 3$.

При $y_2 = 2$, $x_2 = 5 - 2(2) = 1$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(3, 1)$, $(1, 2)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^3 + 2x^2y + xy^2 - x - y = 2 \\ y^3 + 2xy^2 + x^2y + x + y = 6 \end{cases} $

Заметим, что в уравнениях есть похожие группы слагаемых. Сложим два уравнения системы:

$(x^3 + 2x^2y + xy^2 - x - y) + (y^3 + 2xy^2 + x^2y + x + y) = 2 + 6$

Сгруппируем слагаемые:

$x^3 + (2x^2y + x^2y) + (xy^2 + 2xy^2) + y^3 + (-x + x) + (-y + y) = 8$

$x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = 8$

Левая часть уравнения является формулой куба суммы $(x+y)^3$:

$(x+y)^3 = 8$

Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем:

$x+y = 2$

Теперь преобразуем первое уравнение исходной системы, вынеся общие множители:

$x(x^2 + 2xy + y^2) - (x+y) = 2$

$x(x+y)^2 - (x+y) = 2$

Подставим в это уравнение найденное значение $x+y=2$:

$x(2)^2 - 2 = 2$

$4x - 2 = 2$

$4x = 4$

$x = 1$

Теперь найдем $y$ из соотношения $x+y=2$:

$1 + y = 2$

$y = 1$

Проверим решение $(1, 1)$ по второму уравнению системы: $1^3 + 2(1)(1^2) + 1^2(1) + 1 + 1 = 1+2+1+1+1=6$. Верно.

Ответ: $(1, 1)$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - x + 1 = y \\ y^2 - y + 1 = x \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x^2 - x + 1) - (y^2 - y + 1) = y - x$

$x^2 - x + 1 - y^2 + y - 1 = y - x$

$x^2 - y^2 - x + y = y - x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - y^2 - x + x + y - y = 0$

$x^2 - y^2 = 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x-y)(x+y) = 0$

Это равенство выполняется в двух случаях:

Случай 1: $x - y = 0 \Rightarrow x = y$.

Подставим $y=x$ в первое уравнение системы:

$x^2 - x + 1 = x$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Поскольку $x=y$, то $y=1$. Получаем решение $(1, 1)$.

Случай 2: $x + y = 0 \Rightarrow y = -x$.

Подставим $y=-x$ в первое уравнение системы:

$x^2 - x + 1 = -x$

$x^2 + 1 = 0$

$x^2 = -1$

Это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, система имеет единственное действительное решение.

Ответ: $(1, 1)$.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^3 + 3x^2y + 3xy^2 = 1 \\ y^3 + x + y = 1 \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение, добавив и вычтя $y^3$, чтобы получить формулу куба суммы:

$(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) - y^3 = 1$

$(x+y)^3 - y^3 = 1$

Из второго уравнения системы выразим $y^3$:

$y^3 = 1 - (x+y)$

Подставим это выражение для $y^3$ в преобразованное первое уравнение:

$(x+y)^3 - (1 - (x+y)) = 1$

Сделаем замену $S = x+y$:

$S^3 - (1 - S) = 1$

$S^3 - 1 + S = 1$

$S^3 + S - 2 = 0$

Решим это кубическое уравнение подбором целого корня среди делителей свободного члена (-2): $\pm 1, \pm 2$.

При $S=1$: $1^3 + 1 - 2 = 0$. Значит, $S=1$ является корнем.

Разделим многочлен $S^3 + S - 2$ на $(S-1)$:

$(S-1)(S^2+S+2) = 0$

Рассмотрим квадратное уравнение $S^2+S+2=0$. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, единственное действительное решение для $S$ это $S=1$.

Следовательно, $x+y=1$.

Подставим это в второе уравнение исходной системы:

$y^3 + (x+y) = 1$

$y^3 + 1 = 1$

$y^3 = 0 \Rightarrow y = 0$

Теперь найдем $x$ из уравнения $x+y=1$:

$x + 0 = 1 \Rightarrow x = 1$

Получили решение $(1, 0)$.

Ответ: $(1, 0)$.