Номер 12.18, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 12. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения - номер 12.18, страница 126.

Условие.

12.18. Решите систему уравнений $ \begin{cases} (x^2 + y^2 - xy)(x - y) = 1 + y^3, \\ (x^2 + y^2 + xy)(x + y) = 1 - y^3. \end{cases} $

Решение.

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}(x^2 + y^2 - xy)(x - y) = 1 + y^3 \\(x^2 + y^2 + xy)(x + y) = 1 - y^3\end{cases}$$

Для решения системы раскроем скобки в левой части каждого уравнения.

Левая часть первого уравнения: $(x^2 + y^2 - xy)(x - y) = x(x^2 + y^2 - xy) - y(x^2 + y^2 - xy) = x^3 + xy^2 - x^2y - x^2y - y^3 + xy^2 = x^3 - 2x^2y + 2xy^2 - y^3$.

Левая часть второго уравнения: $(x^2 + y^2 + xy)(x + y) = x(x^2 + y^2 + xy) + y(x^2 + y^2 + xy) = x^3 + xy^2 + x^2y + x^2y + y^3 + xy^2 = x^3 + 2x^2y + 2xy^2 + y^3$.

Подставим полученные выражения в исходную систему:

$$\begin{cases}x^3 - 2x^2y + 2xy^2 - y^3 = 1 + y^3 \\x^3 + 2x^2y + 2xy^2 + y^3 = 1 - y^3\end{cases}$$

Перенесем члены, содержащие $y^3$, в левую часть уравнений, чтобы упростить систему:

$$\begin{cases}x^3 - 2x^2y + 2xy^2 - 2y^3 = 1 \\x^3 + 2x^2y + 2xy^2 + 2y^3 = 1\end{cases}$$

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

$(x^3 + 2x^2y + 2xy^2 + 2y^3) - (x^3 - 2x^2y + 2xy^2 - 2y^3) = 1 - 1$

$4x^2y + 4y^3 = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $4y$:

$4y(x^2 + y^2) = 0$

Данное уравнение истинно, если один из множителей равен нулю. Это приводит к двум возможным случаям.

Рассмотрим первый случай: $y = 0$. Подставим это значение во второе преобразованное уравнение $x^3 + 2x^2y + 2xy^2 + 2y^3 = 1$. Получим: $x^3 + 2x^2(0) + 2x(0)^2 + 2(0)^3 = 1$, откуда $x^3 = 1$ и $x = 1$. Таким образом, мы получили возможное решение $(1, 0)$. Выполним проверку, подставив эти значения в исходную систему уравнений. Для первого уравнения: $(1^2 + 0^2 - 1 \cdot 0)(1 - 0) = 1 + 0^3 \implies 1 = 1$. Верно. Для второго уравнения: $(1^2 + 0^2 + 1 \cdot 0)(1 + 0) = 1 - 0^3 \implies 1 = 1$. Верно. Следовательно, пара $(1, 0)$ является решением системы.

Рассмотрим второй случай: $x^2 + y^2 = 0$. В области действительных чисел это равенство возможно только в том случае, когда $x = 0$ и $y = 0$. Проверим пару $(0, 0)$, подставив ее в первое уравнение исходной системы: $(0^2 + 0^2 - 0 \cdot 0)(0 - 0) = 1 + 0^3 \implies 0 = 1$. Полученное равенство является ложным, поэтому пара $(0, 0)$ не является решением системы.

Рассмотрев все возможные случаи, мы приходим к выводу, что система имеет единственное решение.

Ответ: $(1, 0)$.