Номер 12.13, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 12. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения - номер 12.13, страница 126.

Условие.

12.13. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2y^5 = 1 \\ x^5y^2 = -1 \end{cases}$

2) $\begin{cases} (x-y)^2(x+2y) = 4 \\ (x-y)^4(x+2y)^5 = 16 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^3y + x^2y^2 = 6 \\ x^2y^2 + xy^3 = 12 \end{cases}$

4) $\begin{cases} 2xy + 6x - y^2 - 3y = 14 \\ 2x^2 + 4x - xy - 2y = 35 \end{cases}$

5) $\begin{cases} x^2 + 4xy + 3y^2 - x - 3y = 24 \\ 2x^2 + xy - y^2 - 2x + y = 6 \end{cases}$

6) $\begin{cases} \frac{x^3}{y} + xy = 40 \\ \frac{y^3}{x} + xy = 10 \end{cases}$

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2y^5 = 1 \\ x^5y^2 = -1 \end{cases} $$

Поскольку правые части уравнений не равны нулю, $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Перемножим оба уравнения системы:

$(x^2y^5)(x^5y^2) = 1 \cdot (-1)$

$x^{2+5}y^{5+2} = -1$

$x^7y^7 = -1$

$(xy)^7 = -1$

Извлекая корень седьмой степени из обеих частей, получаем:

$xy = -1$

Выразим $y$ через $x$: $y = -1/x$. Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x^2 \left(-\frac{1}{x}\right)^5 = 1$

$x^2 \left(-\frac{1}{x^5}\right) = 1$

$-\frac{x^2}{x^5} = 1$

$-\frac{1}{x^3} = 1$

$x^3 = -1$

$x = -1$

Теперь найдем $y$:

$y = -\frac{1}{x} = -\frac{1}{-1} = 1$

Проверим найденное решение $(-1, 1)$:

Первое уравнение: $(-1)^2 \cdot 1^5 = 1 \cdot 1 = 1$. Верно.

Второе уравнение: $(-1)^5 \cdot 1^2 = -1 \cdot 1 = -1$. Верно.

Ответ: $(-1, 1)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} (x-y)^2(x+2y) = 4 \\ (x-y)^4(x+2y)^5 = 16 \end{cases} $$

Введем новые переменные. Пусть $a = x-y$ и $b = x+2y$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} a^2b = 4 \\ a^4b^5 = 16 \end{cases} $$

Заметим, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$. Разделим второе уравнение на квадрат первого:

$\frac{a^4b^5}{(a^2b)^2} = \frac{16}{4^2}$

$\frac{a^4b^5}{a^4b^2} = \frac{16}{16}$

$b^3 = 1$

$b = 1$

Подставим $b=1$ в первое уравнение $a^2b = 4$:

$a^2 \cdot 1 = 4$

$a^2 = 4$

Отсюда $a = 2$ или $a = -2$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $a=2$ и $b=1$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$$ \begin{cases} x-y = 2 \\ x+2y = 1 \end{cases} $$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(x+2y) - (x-y) = 1 - 2$

$3y = -1 \implies y = -1/3$

Подставим $y$ в первое уравнение: $x - (-1/3) = 2 \implies x + 1/3 = 2 \implies x = 5/3$.

Получили решение $(5/3, -1/3)$.

Случай 2: $a=-2$ и $b=1$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$$ \begin{cases} x-y = -2 \\ x+2y = 1 \end{cases} $$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(x+2y) - (x-y) = 1 - (-2)$

$3y = 3 \implies y = 1$

Подставим $y$ в первое уравнение: $x - 1 = -2 \implies x = -1$.

Получили решение $(-1, 1)$.

Ответ: $(5/3, -1/3)$, $(-1, 1)$.

3)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^3y + x^2y^2 = 6 \\ x^2y^2 + xy^3 = 12 \end{cases} $$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$$ \begin{cases} x^2y(x+y) = 6 \\ xy^2(x+y) = 12 \end{cases} $$

Из уравнений видно, что $x \neq 0, y \neq 0, x+y \neq 0$. Разделим второе уравнение на первое:

$\frac{xy^2(x+y)}{x^2y(x+y)} = \frac{12}{6}$

$\frac{y}{x} = 2 \implies y = 2x$

Подставим $y=2x$ в первое уравнение исходной системы:

$x^3(2x) + x^2(2x)^2 = 6$

$2x^4 + x^2(4x^2) = 6$

$2x^4 + 4x^4 = 6$

$6x^4 = 6$

$x^4 = 1$

Отсюда $x = 1$ или $x = -1$.

Случай 1: $x=1$.

$y = 2x = 2(1) = 2$.

Получили решение $(1, 2)$.

Случай 2: $x=-1$.

$y = 2x = 2(-1) = -2$.

Получили решение $(-1, -2)$.

Ответ: $(1, 2)$, $(-1, -2)$.

4)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2xy + 6x - y^2 - 3y = 14 \\ 2x^2 + 4x - xy - 2y = 35 \end{cases} $$

Разложим на множители левые части уравнений методом группировки:

Первое уравнение:

$(2xy+6x) - (y^2+3y) = 14$

$2x(y+3) - y(y+3) = 14$

$(2x-y)(y+3) = 14$

Второе уравнение:

$(2x^2+4x) - (xy+2y) = 35$

$2x(x+2) - y(x+2) = 35$

$(2x-y)(x+2) = 35$

Система принимает вид:

$$ \begin{cases} (2x-y)(y+3) = 14 \\ (2x-y)(x+2) = 35 \end{cases} $$

Пусть $a = 2x-y$. Тогда:

$$ \begin{cases} a(y+3) = 14 \\ a(x+2) = 35 \end{cases} $$

Отсюда $y+3 = 14/a$ и $x+2 = 35/a$. Выразим $x$ и $y$:

$y = 14/a - 3$

$x = 35/a - 2$

Подставим эти выражения в $a = 2x-y$:

$a = 2(35/a - 2) - (14/a - 3)$

$a = 70/a - 4 - 14/a + 3$

$a = 56/a - 1$

Умножим обе части на $a$ (при $a \neq 0$):

$a^2 = 56 - a$

$a^2 + a - 56 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $a_1 = 7$ и $a_2 = -8$.

Случай 1: $a=7$.

$x = 35/7 - 2 = 5-2 = 3$

$y = 14/7 - 3 = 2-3 = -1$

Получили решение $(3, -1)$.

Случай 2: $a=-8$.

$x = 35/(-8) - 2 = -35/8 - 16/8 = -51/8$

$y = 14/(-8) - 3 = -7/4 - 12/4 = -19/4$

Получили решение $(-51/8, -19/4)$.

Ответ: $(3, -1)$, $(-51/8, -19/4)$.

5)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + 4xy + 3y^2 - x - 3y = 24 \\ 2x^2 + xy - y^2 - 2x + y = 6 \end{cases} $$

Разложим на множители группы слагаемых в каждом уравнении:

Первое уравнение:

$x^2 + 4xy + 3y^2 = (x+y)(x+3y)$

$-x-3y = -(x+3y)$

Получаем: $(x+y)(x+3y) - (x+3y) = 24 \implies (x+3y)(x+y-1) = 24$.

Второе уравнение:

$2x^2 + xy - y^2 = (2x-y)(x+y)$

$-2x+y = -(2x-y)$

Получаем: $(2x-y)(x+y) - (2x-y) = 6 \implies (2x-y)(x+y-1) = 6$.

Система принимает вид:

$$ \begin{cases} (x+3y)(x+y-1) = 24 \\ (2x-y)(x+y-1) = 6 \end{cases} $$

Заметим, что $x+y-1 \neq 0$. Разделим первое уравнение на второе:

$\frac{(x+3y)(x+y-1)}{(2x-y)(x+y-1)} = \frac{24}{6}$

$\frac{x+3y}{2x-y} = 4$

$x+3y = 4(2x-y)$

$x+3y = 8x-4y$

$7y = 7x \implies y = x$

Подставим $y=x$ во второе уравнение преобразованной системы $(2x-y)(x+y-1) = 6$:

$(2x-x)(x+x-1) = 6$

$x(2x-1) = 6$

$2x^2 - x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

$x_1 = \frac{1+7}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{1-7}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -3/2$

Так как $y=x$, получаем два решения:

1. $x_1=2, y_1=2$

2. $x_2=-3/2, y_2=-3/2$

Ответ: $(2, 2)$, $(-3/2, -3/2)$.

6)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x^3}{y} + xy = 40 \\ \frac{y^3}{x} + xy = 10 \end{cases} $$

Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.

Приведем к общему знаменателю левые части уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x^3+xy^2}{y} = 40 \\ \frac{y^3+x^2y}{x} = 10 \end{cases} $$

Вынесем общие множители в числителях:

$$ \begin{cases} \frac{x(x^2+y^2)}{y} = 40 \\ \frac{y(y^2+x^2)}{x} = 10 \end{cases} $$

Разделим первое уравнение на второе:

$\frac{x(x^2+y^2)/y}{y(x^2+y^2)/x} = \frac{40}{10}$

$\frac{x(x^2+y^2)}{y} \cdot \frac{x}{y(x^2+y^2)} = 4$

Поскольку правые части не равны нулю, $x^2+y^2 \neq 0$, можем сократить:

$\frac{x^2}{y^2} = 4$

$(\frac{x}{y})^2 = 4 \implies \frac{x}{y} = \pm 2$

Отсюда $x = 2y$ или $x = -2y$.

Случай 1: $x=2y$.

Подставим в первое уравнение исходной системы:

$\frac{(2y)^3}{y} + (2y)y = 40$

$\frac{8y^3}{y} + 2y^2 = 40$

$8y^2 + 2y^2 = 40$

$10y^2 = 40$

$y^2 = 4 \implies y = \pm 2$

Если $y=2$, то $x=2y=4$. Решение: $(4, 2)$.

Если $y=-2$, то $x=2y=-4$. Решение: $(-4, -2)$.

Случай 2: $x=-2y$.

Подставим в первое уравнение исходной системы:

$\frac{(-2y)^3}{y} + (-2y)y = 40$

$\frac{-8y^3}{y} - 2y^2 = 40$

$-8y^2 - 2y^2 = 40$

$-10y^2 = 40$

$y^2 = -4$

В этом случае действительных решений нет.

Ответ: $(4, 2)$, $(-4, -2)$.