Номер 12.19, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 12. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения - номер 12.19, страница 126.

Условие.

12.19. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^4 + x^2y^2 + y^4 = 21, \\ x^2 - xy + y^2 = 7; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 = 2y - 1, \\ x^4 + y^4 = 2. \end{cases} $

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^4 + x^2y^2 + y^4 = 21, \\ x^2 - xy + y^2 = 7; \end{cases}$$

Преобразуем первое уравнение, дополнив его до полного квадрата. Выражение $x^4 + x^2y^2 + y^4$ можно разложить на множители следующим образом:

$x^4 + x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - (xy)^2$

Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:

$(x^2 + y^2)^2 - (xy)^2 = (x^2 + y^2 - xy)(x^2 + y^2 + xy)$

Таким образом, первое уравнение системы принимает вид:

$(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2) = 21$

Теперь подставим в это уравнение значение выражения из второго уравнения системы, $x^2 - xy + y^2 = 7$:

$7 \cdot (x^2 + xy + y^2) = 21$

Разделив обе части на 7, получим:

$x^2 + xy + y^2 = 3$

Теперь мы имеем новую, более простую систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 7, \\ x^2 + xy + y^2 = 3; \end{cases}$$

Сложим эти два уравнения:

$(x^2 - xy + y^2) + (x^2 + xy + y^2) = 7 + 3$

$2x^2 + 2y^2 = 10$

$x^2 + y^2 = 5$

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$(x^2 - xy + y^2) - (x^2 + xy + y^2) = 7 - 3$

$-2xy = 4$

$xy = -2$

Мы получили еще одну эквивалентную систему:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ xy = -2; \end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = -2/x$ (при $x \ne 0$). Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + (-2/x)^2 = 5$

$x^2 + 4/x^2 = 5$

Умножим обе части на $x^2$:

$x^4 + 4 = 5x^2$

$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ (где $t \ge 0$):

$t^2 - 5t + 4 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Вернемся к переменной $x$:

1. Если $x^2 = 1$, то $x = 1$ или $x = -1$.

- При $x = 1$, $y = -2/1 = -2$. Получаем пару $(1, -2)$.

- При $x = -1$, $y = -2/(-1) = 2$. Получаем пару $(-1, 2)$.

2. Если $x^2 = 4$, то $x = 2$ или $x = -2$.

- При $x = 2$, $y = -2/2 = -1$. Получаем пару $(2, -1)$.

- При $x = -2$, $y = -2/(-2) = 1$. Получаем пару $(-2, 1)$.

Таким образом, система имеет четыре решения.

Ответ: $(1, -2)$, $(-1, 2)$, $(2, -1)$, $(-2, 1)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 = 2y - 1, \\ x^4 + y^4 = 2; \end{cases}$$

Из первого уравнения $x^2 = 2y - 1$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то должно выполняться условие $2y - 1 \ge 0$, то есть $y \ge 1/2$.

Возведем первое уравнение в квадрат, чтобы получить выражение для $x^4$:

$x^4 = (2y - 1)^2$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(2y - 1)^2 + y^4 = 2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4y^2 - 4y + 1 + y^4 = 2$

$y^4 + 4y^2 - 4y - 1 = 0$

Мы получили уравнение четвертой степени относительно $y$. Попробуем найти его целые корни, которые должны быть делителями свободного члена, то есть $\pm 1$.

Проверим $y = 1$:

$1^4 + 4(1)^2 - 4(1) - 1 = 1 + 4 - 4 - 1 = 0$

Так как получилось верное равенство, $y = 1$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $y^4 + 4y^2 - 4y - 1$ на $(y-1)$ и получим:

$(y-1)(y^3 + y^2 + 5y + 1) = 0$

Теперь у нас есть два случая:

1. $y - 1 = 0 \implies y = 1$. Этот корень удовлетворяет условию $y \ge 1/2$.

2. $y^3 + y^2 + 5y + 1 = 0$. Рассмотрим функцию $f(y) = y^3 + y^2 + 5y + 1$. Ее производная $f'(y) = 3y^2 + 2y + 5$. Дискриминант квадратного трехчлена $3y^2 + 2y + 5$ равен $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 - 60 = -56 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, производная $f'(y) > 0$ для всех $y$. Это означает, что функция $f(y)$ строго возрастает на всей числовой оси и может иметь не более одного действительного корня. Так как $f(0) = 1 > 0$ и $f(-1/2) = (-1/8) + (1/4) - (5/2) + 1 = -11/8 < 0$, то единственный корень этого уравнения находится в интервале $(-1/2, 0)$. Этот корень не удовлетворяет условию $y \ge 1/2$.

Следовательно, единственным подходящим решением для $y$ является $y=1$.

Найдем соответствующие значения $x$, подставив $y=1$ в первое уравнение системы:

$x^2 = 2(1) - 1$

$x^2 = 1$

Отсюда $x = 1$ или $x = -1$.

Таким образом, мы получили две пары решений.

Ответ: $(1, 1)$, $(-1, 1)$.