Номер 12.20, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 12. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения - номер 12.20, страница 127.

Условие.

12.20. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^4 + 4y^4 = 5, \\ x^2 - 2xy + 2y^2 = 1; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} y^2 = x - 2, \\ x^4 + y^4 = 82. \end{cases} $

Решение.

1)

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^4 + 4y^4 = 5, \\ x^2 - 2xy + 2y^2 = 1. \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение, используя тождество Софи Жермен $a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2 - 2ab)(a^2 + 2b^2 + 2ab)$.

В нашем случае $a=x$, $b=y$. Применив тождество, получим:

$x^4 + 4y^4 = (x^2 - 2xy + 2y^2)(x^2 + 2xy + 2y^2)$.

Таким образом, первое уравнение системы можно переписать в виде:

$(x^2 - 2xy + 2y^2)(x^2 + 2xy + 2y^2) = 5$.

Из второго уравнения системы мы знаем, что $x^2 - 2xy + 2y^2 = 1$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$1 \cdot (x^2 + 2xy + 2y^2) = 5$, откуда следует, что $x^2 + 2xy + 2y^2 = 5$.

Теперь исходная система эквивалентна следующей, более простой системе:

$ \begin{cases} x^2 - 2xy + 2y^2 = 1, \\ x^2 + 2xy + 2y^2 = 5. \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$(x^2 - 2xy + 2y^2) + (x^2 + 2xy + 2y^2) = 1 + 5$

$2x^2 + 4y^2 = 6$.

Разделив обе части на 2, получим: $x^2 + 2y^2 = 3$.

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

$(x^2 + 2xy + 2y^2) - (x^2 - 2xy + 2y^2) = 5 - 1$

$4xy = 4$.

Отсюда $xy = 1$.

Мы получили новую систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 2y^2 = 3, \\ xy = 1. \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ (очевидно, $x \neq 0$): $y = \frac{1}{x}$. Подставим это в первое уравнение:

$x^2 + 2\left(\frac{1}{x}\right)^2 = 3$

$x^2 + \frac{2}{x^2} = 3$.

Умножим обе части уравнения на $x^2$:

$x^4 + 2 = 3x^2$

$x^4 - 3x^2 + 2 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

$t^2 - 3t + 2 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения (например, по теореме Виета) равны $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$. Оба корня неотрицательны, поэтому подходят.

Рассмотрим два случая:

1. Если $t = 1$, то $x^2 = 1$, откуда $x = 1$ или $x = -1$.

- При $x = 1$, $y = \frac{1}{1} = 1$. Получаем решение $(1, 1)$.

- При $x = -1$, $y = \frac{1}{-1} = -1$. Получаем решение $(-1, -1)$.

2. Если $t = 2$, то $x^2 = 2$, откуда $x = \sqrt{2}$ или $x = -\sqrt{2}$.

- При $x = \sqrt{2}$, $y = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Получаем решение $(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

- При $x = -\sqrt{2}$, $y = \frac{1}{-\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Получаем решение $(-\sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: $(1, 1)$, $(-1, -1)$, $(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, $(-\sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

2)

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y^2 = x - 2, \\ x^4 + y^4 = 82. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y^2 + 2$. Поскольку $y^2 \ge 0$, для $x$ выполняется условие $x \ge 2$.

Подставим выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(y^2 + 2)^4 + y^4 = 82$.

Сделаем замену переменной. Пусть $u = y^2$. Так как $y$ - вещественное число, то $u \ge 0$. Уравнение принимает вид:

$(u + 2)^4 + u^2 = 82$.

Раскроем скобки, используя формулу бинома Ньютона или последовательное возведение в квадрат:

$(u+2)^4 = u^4 + 4 \cdot u^3 \cdot 2 + 6 \cdot u^2 \cdot 2^2 + 4 \cdot u \cdot 2^3 + 2^4 = u^4 + 8u^3 + 24u^2 + 32u + 16$.

Подставим это в уравнение:

$(u^4 + 8u^3 + 24u^2 + 32u + 16) + u^2 = 82$.

Приведем подобные слагаемые:

$u^4 + 8u^3 + 25u^2 + 32u - 66 = 0$.

Попробуем найти целые неотрицательные корни этого уравнения. Согласно теореме о рациональных корнях, они должны быть делителями свободного члена $-66$. Проверим $u=1$:

$1^4 + 8(1)^3 + 25(1)^2 + 32(1) - 66 = 1 + 8 + 25 + 32 - 66 = 66 - 66 = 0$.

Следовательно, $u=1$ является корнем. Мы можем разложить многочлен на множители:

$(u-1)(u^3 + 9u^2 + 34u + 66) = 0$.

Рассмотрим второй множитель $u^3 + 9u^2 + 34u + 66$. Поскольку мы ищем решения для $u \ge 0$, то каждое слагаемое в этом выражении неотрицательно ($u^3 \ge 0$, $9u^2 \ge 0$, $34u \ge 0$), а свободный член $66$ строго положителен. Таким образом, их сумма всегда будет больше нуля. Следовательно, уравнение $u^3 + 9u^2 + 34u + 66 = 0$ не имеет неотрицательных корней.

Единственным подходящим решением является $u=1$.

Сделаем обратную замену:

$y^2 = u = 1$, откуда $y = 1$ или $y = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ из уравнения $x = y^2 + 2$:

$x = 1 + 2 = 3$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(3, 1)$, $(3, -1)$.