Номер 13.2, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.2, страница 133.

Условие.

13.2. Решите систему уравнений:

1)

$ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{13}{6}, \\ x^2 + y^2 = 13; \end{cases} $

2)

$ \begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{5}{2}, \\ x^2 + y^2 = 20; \end{cases} $

3)

$ \begin{cases} (x+y+1)^2 + (x+y)^2 = 25, \\ x^2 - y^2 = 3; \end{cases} $

4)

$ \begin{cases} \sqrt{\frac{x+y}{x-y}} + 3\sqrt{\frac{x-y}{x+y}} = 4, \\ x^2 + 4x + y^2 - 3y = 0. \end{cases} $

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{13}{6} \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} $

Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.

Преобразуем первое уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{13}{6}$

Из второго уравнения системы мы знаем, что $x^2 + y^2 = 13$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$\frac{13}{xy} = \frac{13}{6}$

Отсюда следует, что $xy = 6$.

Теперь система уравнений стала проще:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ xy = 6 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$: $y = \frac{6}{x}$. Подставим в первое уравнение:

$x^2 + (\frac{6}{x})^2 = 13$

$x^2 + \frac{36}{x^2} = 13$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$, где $t > 0$.

$t + \frac{36}{t} = 13$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$):

$t^2 + 36 = 13t$

$t^2 - 13t + 36 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1$ и $t_2$ удовлетворяют условиям $t_1 + t_2 = 13$ и $t_1 t_2 = 36$. Корни равны $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$. Оба корня положительны, так что они подходят.

Вернемся к переменной $x$:

Случай 1: $x^2 = 4$, откуда $x = 2$ или $x = -2$.

• Если $x = 2$, то $y = \frac{6}{2} = 3$.
• Если $x = -2$, то $y = \frac{6}{-2} = -3$.

Случай 2: $x^2 = 9$, откуда $x = 3$ или $x = -3$.

• Если $x = 3$, то $y = \frac{6}{3} = 2$.
• Если $x = -3$, то $y = \frac{6}{-3} = -2$.

Получаем четыре пары решений.

Ответ: $(2; 3)$, $(-2; -3)$, $(3; 2)$, $(-3; -2)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{5}{2} \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases} $

Область допустимых значений: $x-y \neq 0$ и $x+y \neq 0$, т.е. $x \neq y$ и $x \neq -y$.

В первом уравнении сделаем замену. Пусть $t = \frac{x+y}{x-y}$. Тогда уравнение примет вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части на $2t$ (так как $t \neq 0$):

$2t^2 + 2 = 5t$

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $t$. Дискриминант $\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$

$t_1 = \frac{8}{4} = 2$, $t_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\frac{x+y}{x-y} = 2$

$x+y = 2(x-y) \implies x+y = 2x - 2y \implies x = 3y$.

Подставим $x = 3y$ во второе уравнение системы:

$(3y)^2 + y^2 = 20 \implies 9y^2 + y^2 = 20 \implies 10y^2 = 20 \implies y^2 = 2$.

Отсюда $y = \sqrt{2}$ или $y = -\sqrt{2}$.

• Если $y = \sqrt{2}$, то $x = 3\sqrt{2}$.
• Если $y = -\sqrt{2}$, то $x = -3\sqrt{2}$.

Случай 2: $\frac{x+y}{x-y} = \frac{1}{2}$

$2(x+y) = x-y \implies 2x+2y = x-y \implies x = -3y$.

Подставим $x = -3y$ во второе уравнение системы:

$(-3y)^2 + y^2 = 20 \implies 9y^2 + y^2 = 20 \implies 10y^2 = 20 \implies y^2 = 2$.

Отсюда $y = \sqrt{2}$ или $y = -\sqrt{2}$.

• Если $y = \sqrt{2}$, то $x = -3\sqrt{2}$.
• Если $y = -\sqrt{2}$, то $x = 3\sqrt{2}$.

Проверка ОДЗ показывает, что все четыре пары удовлетворяют условиям.

Ответ: $(3\sqrt{2}; \sqrt{2})$, $(-3\sqrt{2}; -\sqrt{2})$, $(-3\sqrt{2}; \sqrt{2})$, $(3\sqrt{2}; -\sqrt{2})$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} (x+y+1)^2 + (x+y)^2 = 25 \\ x^2 - y^2 = 3 \end{cases} $

В первом уравнении сделаем замену. Пусть $a = x+y$. Тогда уравнение примет вид:

$(a+1)^2 + a^2 = 25$

$a^2 + 2a + 1 + a^2 = 25$

$2a^2 + 2a - 24 = 0$

$a^2 + a - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $a_1 \cdot a_2 = -12$, $a_1 + a_2 = -1$. Корни: $a_1 = 3$, $a_2 = -4$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x+y = 3$.

Второе уравнение системы $x^2 - y^2 = 3$ можно разложить на множители: $(x-y)(x+y) = 3$.

Подставим $x+y=3$: $(x-y) \cdot 3 = 3 \implies x-y = 1$.

Получили систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 1 \end{cases} $

Сложив уравнения, получим $2x = 4 \implies x = 2$. Тогда $2+y = 3 \implies y = 1$.

Случай 2: $x+y = -4$.

Подставим это значение во второе уравнение $(x-y)(x+y) = 3$:

$(x-y) \cdot (-4) = 3 \implies x-y = -\frac{3}{4}$.

Получили систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x+y = -4 \\ x-y = -\frac{3}{4} \end{cases} $

Сложив уравнения, получим $2x = -4 - \frac{3}{4} = -\frac{19}{4} \implies x = -\frac{19}{8}$.

Тогда $y = -4 - x = -4 - (-\frac{19}{8}) = -\frac{32}{8} + \frac{19}{8} = -\frac{13}{8}$.

Ответ: $(2; 1)$, $(-\frac{19}{8}; -\frac{13}{8})$.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{\frac{x+y}{x-y}} + 3\sqrt{\frac{x-y}{x+y}} = 4 \\ x^2 + 4x + y^2 - 3y = 0 \end{cases} $

Область допустимых значений: $\frac{x+y}{x-y} > 0$, что означает, что $x+y$ и $x-y$ должны быть одного знака и не равны нулю.

В первом уравнении сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{\frac{x+y}{x-y}}$, где $t>0$. Тогда уравнение примет вид:

$t + \frac{3}{t} = 4$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):

$t^2 + 3 = 4t$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1=1$, $t_2=3$. Оба корня положительны.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\sqrt{\frac{x+y}{x-y}} = 1$

Возведем в квадрат: $\frac{x+y}{x-y} = 1 \implies x+y = x-y \implies 2y = 0 \implies y=0$.

Подставим $y=0$ во второе уравнение системы:

$x^2 + 4x + 0^2 - 3 \cdot 0 = 0 \implies x^2 + 4x = 0 \implies x(x+4) = 0$.

Отсюда $x=0$ или $x=-4$.

Пара $(0;0)$ не входит в ОДЗ, так как знаменатели $x-y$ и $x+y$ обращаются в ноль.

Пара $(-4;0)$ удовлетворяет ОДЗ: $x+y=-4$, $x-y=-4$, они одного знака. Эта пара является решением.

Случай 2: $\sqrt{\frac{x+y}{x-y}} = 3$

Возведем в квадрат: $\frac{x+y}{x-y} = 9 \implies x+y = 9(x-y) \implies x+y = 9x - 9y \implies 8x = 10y \implies y = \frac{4}{5}x$.

Подставим $y = \frac{4}{5}x$ во второе уравнение системы:

$x^2 + 4x + (\frac{4}{5}x)^2 - 3(\frac{4}{5}x) = 0$

$x^2 + 4x + \frac{16}{25}x^2 - \frac{12}{5}x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(1 + \frac{16}{25})x^2 + (4 - \frac{12}{5})x = 0$

$\frac{41}{25}x^2 + \frac{8}{5}x = 0$

$x(\frac{41}{25}x + \frac{8}{5}) = 0$

Отсюда $x=0$ или $\frac{41}{25}x = -\frac{8}{5}$.

Если $x=0$, то и $y=0$. Эту пару мы уже исключили.

Если $\frac{41}{25}x = -\frac{8}{5}$, то $x = -\frac{8}{5} \cdot \frac{25}{41} = -\frac{40}{41}$.

Тогда $y = \frac{4}{5}x = \frac{4}{5} \cdot (-\frac{40}{41}) = -\frac{32}{41}$.

Проверим ОДЗ для пары $(-\frac{40}{41}; -\frac{32}{41})$: $x+y = -\frac{72}{41}$ и $x-y = -\frac{8}{41}$. Оба выражения одного знака, не равны нулю. Эта пара является решением.

Ответ: $(-4; 0)$, $(-\frac{40}{41}; -\frac{32}{41})$.