Номер 13.3, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.3, страница 134.

Условие.

13.3. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} 2xy - \frac{3x}{y} = 15 \\ xy + \frac{x}{y} = 15 \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \frac{3}{x^2 + y^2 - 1} + \frac{2y}{x} = 1 \\ x^2 + y^2 + \frac{4x}{y} = 22 \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{36} \\ xy^2 - x^2y = 324 \end{cases} $

4) $ \begin{cases} \frac{xy}{x + 3y} + \frac{x + 3y}{xy} = 2 \\ \frac{xy}{x - y} + \frac{x - y}{xy} = \frac{5}{2} \end{cases} $

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2xy - \frac{3x}{y} = 15 \\ xy + \frac{x}{y} = 15 \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $y \neq 0$.

Введем новые переменные. Пусть $a = xy$ и $b = \frac{x}{y}$. Система примет вид:

$ \begin{cases} 2a - 3b = 15 \\ a + b = 15 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $a$: $a = 15 - b$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2(15 - b) - 3b = 15$

$30 - 2b - 3b = 15$

$30 - 5b = 15$

$5b = 15$

$b = 3$

Теперь найдем $a$:

$a = 15 - b = 15 - 3 = 12$

Вернемся к исходным переменным:

$ \begin{cases} xy = 12 \\ \frac{x}{y} = 3 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$: $x = 3y$.

Подставим это в первое уравнение:

$(3y)y = 12$

$3y^2 = 12$

$y^2 = 4$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 3 \cdot 2 = 6$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = 3 \cdot (-2) = -6$.

Получили две пары решений: $(6, 2)$ и $(-6, -2)$. Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(6, 2), (-6, -2)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{3}{x^2 + y^2 - 1} + \frac{2y}{x} = 1 \\ x^2 + y^2 + \frac{4x}{y} = 22 \end{cases} $

ОДЗ: $x \neq 0, y \neq 0, x^2 + y^2 - 1 \neq 0$.

Введем новые переменные. Пусть $a = x^2 + y^2$ и $b = \frac{y}{x}$. Тогда $\frac{x}{y} = \frac{1}{b}$. Система примет вид:

$ \begin{cases} \frac{3}{a - 1} + 2b = 1 \\ a + \frac{4}{b} = 22 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $a$: $a = 22 - \frac{4}{b}$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{3}{(22 - \frac{4}{b}) - 1} + 2b = 1$

$\frac{3}{21 - \frac{4}{b}} + 2b = 1$

$\frac{3b}{21b - 4} + 2b = 1$

Умножим обе части на $(21b - 4)$, чтобы избавиться от знаменателя (при условии $21b - 4 \neq 0$):

$3b + 2b(21b - 4) = 21b - 4$

$3b + 42b^2 - 8b = 21b - 4$

$42b^2 - 5b = 21b - 4$

$42b^2 - 26b + 4 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$21b^2 - 13b + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 21 \cdot 2 = 169 - 168 = 1$.

$b_1 = \frac{13 - 1}{2 \cdot 21} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}$

$b_2 = \frac{13 + 1}{2 \cdot 21} = \frac{14}{42} = \frac{1}{3}$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $b = \frac{1}{3}$.

$a = 22 - \frac{4}{1/3} = 22 - 12 = 10$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ \frac{y}{x} = \frac{1}{3} \implies x = 3y \end{cases} $

Подставим $x=3y$ в первое уравнение: $(3y)^2 + y^2 = 10 \implies 9y^2 + y^2 = 10 \implies 10y^2 = 10 \implies y^2 = 1$.

Отсюда $y_1 = 1, y_2 = -1$.

Если $y_1=1$, то $x_1=3(1)=3$. Решение $(3, 1)$.

Если $y_2=-1$, то $x_2=3(-1)=-3$. Решение $(-3, -1)$.

Случай 2: $b = \frac{2}{7}$.

$a = 22 - \frac{4}{2/7} = 22 - 14 = 8$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 8 \\ \frac{y}{x} = \frac{2}{7} \implies x = \frac{7y}{2} \end{cases} $

Подставим $x=\frac{7y}{2}$ в первое уравнение: $(\frac{7y}{2})^2 + y^2 = 8 \implies \frac{49y^2}{4} + y^2 = 8 \implies 49y^2 + 4y^2 = 32 \implies 53y^2 = 32 \implies y^2 = \frac{32}{53}$.

$y = \pm\sqrt{\frac{32}{53}} = \pm\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{53}} = \pm\frac{4\sqrt{106}}{53}$.

Если $y_3 = \frac{4\sqrt{106}}{53}$, то $x_3 = \frac{7}{2} \cdot \frac{4\sqrt{106}}{53} = \frac{14\sqrt{106}}{53}$. Решение $(\frac{14\sqrt{106}}{53}, \frac{4\sqrt{106}}{53})$.

Если $y_4 = -\frac{4\sqrt{106}}{53}$, то $x_4 = \frac{7}{2} \cdot (-\frac{4\sqrt{106}}{53}) = -\frac{14\sqrt{106}}{53}$. Решение $(-\frac{14\sqrt{106}}{53}, -\frac{4\sqrt{106}}{53})$.

Все четыре пары решений удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(3, 1), (-3, -1), (\frac{14\sqrt{106}}{53}, \frac{4\sqrt{106}}{53}), (-\frac{14\sqrt{106}}{53}, -\frac{4\sqrt{106}}{53})$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{36} \\ xy^2 - x^2y = 324 \end{cases} $

ОДЗ: $x \neq 0, y \neq 0$.

Преобразуем оба уравнения:

1) $\frac{y - x}{xy} = \frac{1}{36}$

2) $xy(y - x) = 324$

Введем новые переменные. Пусть $u = y - x$ и $v = xy$. Система примет вид:

$ \begin{cases} \frac{u}{v} = \frac{1}{36} \\ v \cdot u = 324 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $v$: $v = 36u$.

Подставим это во второе уравнение:

$(36u) \cdot u = 324$

$36u^2 = 324$

$u^2 = \frac{324}{36} = 9$

Отсюда $u = \pm 3$.

Случай 1: $u = 3$.

Тогда $v = 36 \cdot 3 = 108$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$ \begin{cases} y - x = 3 \\ xy = 108 \end{cases} $

Из первого уравнения $y = x + 3$. Подставляем во второе:

$x(x + 3) = 108$

$x^2 + 3x - 108 = 0$

Дискриминант $D = 3^2 - 4(1)(-108) = 9 + 432 = 441 = 21^2$.

$x_1 = \frac{-3 + 21}{2} = 9$. Тогда $y_1 = 9 + 3 = 12$.

$x_2 = \frac{-3 - 21}{2} = -12$. Тогда $y_2 = -12 + 3 = -9$.

Получили две пары решений: $(9, 12)$ и $(-12, -9)$.

Случай 2: $u = -3$.

Тогда $v = 36 \cdot (-3) = -108$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$ \begin{cases} y - x = -3 \\ xy = -108 \end{cases} $

Из первого уравнения $y = x - 3$. Подставляем во второе:

$x(x - 3) = -108$

$x^2 - 3x + 108 = 0$

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4(1)(108) = 9 - 432 = -423 < 0$. В этом случае действительных решений нет.

Ответ: $(9, 12), (-12, -9)$.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{xy}{x + 3y} + \frac{x + 3y}{xy} = 2 \\ \frac{xy}{x - y} + \frac{x - y}{xy} = \frac{5}{2} \end{cases} $

ОДЗ: $x \neq 0, y \neq 0, x+3y \neq 0, x-y \neq 0$.

Рассмотрим первое уравнение. Пусть $a = \frac{xy}{x + 3y}$. Тогда уравнение примет вид:

$a + \frac{1}{a} = 2$

Умножим на $a$: $a^2 + 1 = 2a \implies a^2 - 2a + 1 = 0 \implies (a - 1)^2 = 0$.

Отсюда $a = 1$. Значит, $\frac{xy}{x + 3y} = 1 \implies xy = x + 3y$.

Рассмотрим второе уравнение. Пусть $b = \frac{xy}{x - y}$. Тогда уравнение примет вид:

$b + \frac{1}{b} = \frac{5}{2}$

Умножим на $2b$: $2b^2 + 2 = 5b \implies 2b^2 - 5b + 2 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9$.

$b_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$b_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Теперь нужно решить две системы уравнений.

Случай 1: $b = 2$.

$\frac{xy}{x - y} = 2 \implies xy = 2(x - y) = 2x - 2y$.

Имеем систему:

$ \begin{cases} xy = x + 3y \\ xy = 2x - 2y \end{cases} $

Приравниваем правые части: $x + 3y = 2x - 2y \implies x = 5y$.

Подставим $x=5y$ в первое уравнение: $(5y)y = 5y + 3y \implies 5y^2 = 8y$.

Так как $y \neq 0$ по ОДЗ, можем разделить на $y$: $5y = 8 \implies y = \frac{8}{5}$.

Тогда $x = 5y = 5 \cdot \frac{8}{5} = 8$. Решение: $(8, \frac{8}{5})$.

Случай 2: $b = \frac{1}{2}$.

$\frac{xy}{x - y} = \frac{1}{2} \implies 2xy = x - y$.

Имеем систему:

$ \begin{cases} xy = x + 3y \\ 2xy = x - y \end{cases} $

Подставим выражение для $xy$ из первого уравнения во второе:

$2(x + 3y) = x - y \implies 2x + 6y = x - y \implies x = -7y$.

Подставим $x = -7y$ в первое уравнение: $(-7y)y = -7y + 3y \implies -7y^2 = -4y$.

Так как $y \neq 0$, делим на $y$: $-7y = -4 \implies y = \frac{4}{7}$.

Тогда $x = -7y = -7 \cdot \frac{4}{7} = -4$. Решение: $(-4, \frac{4}{7})$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(8, \frac{8}{5}), (-4, \frac{4}{7})$.