Номер 13.1, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.1, страница 133.

Условие.

13.1. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{5}{6}, \\ x^2 - y^2 = 5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{1}{x+1} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}, \\ \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{y^2} = \frac{1}{4}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} (x+y)^4 + 4(x+y)^2 = 117, \\ x - y = 25; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \sqrt{\frac{x+y}{5x}} + \sqrt{\frac{5x}{x+y}} = \frac{34}{15}, \\ x + y = 12. \end{cases}$

Решение.

1)

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{5}{6} \\ x^2 - y^2 = 5 \end{cases} $$ Определим область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$, $y \neq 0$.

Преобразуем первое уравнение, приведя дроби к общему знаменателю: $$ \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{5}{6} $$ Из второго уравнения системы мы знаем, что $x^2 - y^2 = 5$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение: $$ \frac{5}{xy} = \frac{5}{6} $$ Отсюда следует, что $xy = 6$.

Теперь мы имеем более простую систему: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 5 \\ xy = 6 \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = \frac{6}{x}$. Подставим это выражение в первое уравнение: $$ x^2 - (\frac{6}{x})^2 = 5 $$ $$ x^2 - \frac{36}{x^2} = 5 $$ Умножим обе части уравнения на $x^2$ (что допустимо, так как $x \neq 0$): $$ x^4 - 36 = 5x^2 $$ $$ x^4 - 5x^2 - 36 = 0 $$ Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $t \ge 0$. $$ t^2 - 5t - 36 = 0 $$ Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$. $$ t_1 = \frac{5 - 13}{2} = -4 $$ $$ t_2 = \frac{5 + 13}{2} = 9 $$ Корень $t_1 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Следовательно, $t=9$.

Возвращаемся к переменной $x$: $x^2 = 9$, откуда $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя соотношение $y = \frac{6}{x}$:
Если $x_1 = 3$, то $y_1 = \frac{6}{3} = 2$.
Если $x_2 = -3$, то $y_2 = \frac{6}{-3} = -2$.

Получили две пары решений: $(3, 2)$ и $(-3, -2)$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(3, 2)$, $(-3, -2)$.

2)

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{1}{x+1} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \\ \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{y^2} = \frac{1}{4} \end{cases} $$ ОДЗ: $x \neq -1$, $y \neq 0$.

Для упрощения решения введем новые переменные: Пусть $a = \frac{1}{x+1}$ и $b = \frac{1}{y}$. Тогда система примет вид: $$ \begin{cases} a + b = \frac{1}{3} \\ a^2 - b^2 = \frac{1}{4} \end{cases} $$ Второе уравнение можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $(a-b)(a+b) = \frac{1}{4}$.

Подставим значение $a+b$ из первого уравнения во второе: $$ (a-b) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{4} $$ Отсюда находим $a-b$: $$ a-b = \frac{3}{4} $$

Теперь у нас есть система линейных уравнений для $a$ и $b$: $$ \begin{cases} a + b = \frac{1}{3} \\ a - b = \frac{3}{4} \end{cases} $$ Сложим эти два уравнения: $$ 2a = \frac{1}{3} + \frac{3}{4} = \frac{4+9}{12} = \frac{13}{12} $$ $$ a = \frac{13}{24} $$ Теперь найдем $b$ из первого уравнения: $$ b = \frac{1}{3} - a = \frac{1}{3} - \frac{13}{24} = \frac{8-13}{24} = -\frac{5}{24} $$

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:
$a = \frac{1}{x+1} \implies \frac{13}{24} = \frac{1}{x+1} \implies x+1 = \frac{24}{13} \implies x = \frac{24}{13} - 1 = \frac{11}{13}$.
$b = \frac{1}{y} \implies -\frac{5}{24} = \frac{1}{y} \implies y = -\frac{24}{5}$.

Полученное решение $(\frac{11}{13}, -\frac{24}{5})$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(\frac{11}{13}, -\frac{24}{5})$.

3)

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} (x+y)^4 + 4(x+y)^2 = 117 \\ x-y = 25 \end{cases} $$

В первом уравнении сделаем замену переменной. Пусть $z = (x+y)^2$. Так как $z$ является квадратом выражения, то $z \ge 0$.
Первое уравнение примет вид: $$ z^2 + 4z = 117 $$ $$ z^2 + 4z - 117 = 0 $$ Решим это квадратное уравнение относительно $z$: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-117) = 16 + 468 = 484 = 22^2$. $$ z_1 = \frac{-4 - 22}{2} = -13 $$ $$ z_2 = \frac{-4 + 22}{2} = 9 $$ Корень $z_1 = -13$ не удовлетворяет условию $z \ge 0$. Следовательно, $z=9$.

Возвращаемся к исходным переменным: $(x+y)^2 = 9$. Это дает два возможных случая: 1. $x+y = 3$ 2. $x+y = -3$

Рассмотрим каждый случай отдельно, объединив его со вторым уравнением исходной системы $x-y=25$.
Случай 1: $$ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 25 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $2x = 28 \implies x=14$. Подставим $x=14$ в первое уравнение: $14+y = 3 \implies y = -11$. Получили решение $(14, -11)$.
Случай 2: $$ \begin{cases} x+y = -3 \\ x-y = 25 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $2x = 22 \implies x=11$. Подставим $x=11$ в первое уравнение: $11+y = -3 \implies y = -14$. Получили решение $(11, -14)$.

Ответ: $(14, -11)$, $(11, -14)$.

4)

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{\frac{x+y}{5x}} + \sqrt{\frac{5x}{x+y}} = \frac{34}{15} \\ x+y = 12 \end{cases} $$

ОДЗ: выражения под корнями должны быть неотрицательны, а знаменатели не должны быть равны нулю. $\frac{x+y}{5x} \ge 0$ и $\frac{5x}{x+y} \ge 0$. Из второго уравнения $x+y=12 > 0$. Следовательно, для выполнения условий ОДЗ необходимо, чтобы $5x > 0$, то есть $x > 0$.

В первом уравнении введем замену. Пусть $t = \sqrt{\frac{x+y}{5x}}$. Заметим, что $t > 0$. Тогда $\sqrt{\frac{5x}{x+y}} = \frac{1}{t}$. Первое уравнение принимает вид: $$ t + \frac{1}{t} = \frac{34}{15} $$ Умножим обе части на $15t$ (так как $t \neq 0$): $$ 15t^2 + 15 = 34t $$ $$ 15t^2 - 34t + 15 = 0 $$ Решим это квадратное уравнение относительно $t$: $D = (-34)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 15 = 1156 - 900 = 256 = 16^2$. $$ t_1 = \frac{34 - 16}{2 \cdot 15} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} $$ $$ t_2 = \frac{34 + 16}{2 \cdot 15} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3} $$ Оба корня положительны, поэтому рассматриваем два случая.

Случай 1: $t = \frac{3}{5}$
$\sqrt{\frac{x+y}{5x}} = \frac{3}{5}$. Возведем в квадрат: $\frac{x+y}{5x} = \frac{9}{25}$. Подставим $x+y = 12$ из второго уравнения системы: $$ \frac{12}{5x} = \frac{9}{25} $$ $$ 12 \cdot 25 = 9 \cdot 5x \implies 300 = 45x \implies x = \frac{300}{45} = \frac{20}{3} $$ Найдем $y$: $y = 12 - x = 12 - \frac{20}{3} = \frac{36-20}{3} = \frac{16}{3}$. Первое решение: $(\frac{20}{3}, \frac{16}{3})$.

Случай 2: $t = \frac{5}{3}$
$\sqrt{\frac{x+y}{5x}} = \frac{5}{3}$. Возведем в квадрат: $\frac{x+y}{5x} = \frac{25}{9}$. Подставим $x+y=12$: $$ \frac{12}{5x} = \frac{25}{9} $$ $$ 12 \cdot 9 = 25 \cdot 5x \implies 108 = 125x \implies x = \frac{108}{125} $$ Найдем $y$: $y = 12 - x = 12 - \frac{108}{125} = \frac{1500-108}{125} = \frac{1392}{125}$. Второе решение: $(\frac{108}{125}, \frac{1392}{125})$.

Оба решения удовлетворяют условию $x>0$.

Ответ: $(\frac{20}{3}, \frac{16}{3})$, $(\frac{108}{125}, \frac{1392}{125})$.