Номер 12.23, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 12. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения - номер 12.23, страница 127.

Условие.

12.23. Найдите решения неравенства $|x+2|(x^2-a^2)>0$ в зависимости от значения параметра $a$.

Решение.

Дано неравенство $|x+2|(x^2 - a^2) > 0$.

Поскольку множитель $|x+2|$ всегда неотрицателен, то есть $|x+2| \ge 0$, для того чтобы произведение было строго положительным, необходимо и достаточно, чтобы оба множителя были строго положительны. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} |x+2| > 0 \\ x^2 - a^2 > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства следует, что $x+2 \ne 0$, то есть $x \ne -2$.

Второе неравенство $x^2 - a^2 > 0$ равносильно $x^2 > a^2$.

Таким образом, задача состоит в том, чтобы решить неравенство $x^2 > a^2$ и исключить из его решения $x = -2$, если это значение туда входит. Рассмотрим различные случаи в зависимости от параметра $a$.

При $a=0$

Неравенство $x^2 > a^2$ принимает вид $x^2 > 0$. Его решение: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$, то есть $x \ne 0$.

Дополнительно необходимо учесть условие $x \ne -2$. Объединяя эти два условия, получаем решение исходного неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 0) \cup (0, \infty)$.

При $a \in (-2, 0) \cup (0, 2)$

В этом случае $0 < |a| < 2$. Решением неравенства $x^2 > a^2$ (или $|x| > |a|$) является множество $x \in (-\infty, -|a|) \cup (|a|, \infty)$.

Так как $|a| < 2$, то $-|a| > -2$. Следовательно, точка $x=-2$ принадлежит промежутку $(-\infty, -|a|)$ и должна быть исключена.

Итоговое решение представляет собой множество $(-\infty, -|a|) \setminus \{-2\} \cup (|a|, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, -|a|) \cup (|a|, \infty)$.

При $a \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$

В этом случае $|a| \ge 2$. Решением неравенства $x^2 > a^2$ является множество $x \in (-\infty, -|a|) \cup (|a|, \infty)$.

Так как $|a| \ge 2$, то $-|a| \le -2$. Следовательно, точка $x=-2$ не принадлежит множеству $(-\infty, -|a|) \cup (|a|, \infty)$ (она находится в промежутке $[-|a|, |a|]$), поэтому условие $x \ne -2$ выполняется автоматически.

Ответ: $x \in (-\infty, -|a|) \cup (|a|, \infty)$.