Номер 12.12, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 12. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения - номер 12.12, страница 125.

Условие.

12.12. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 2x^2 - 5xy + 3x - 2y = 2, \\ 5xy - 2x^2 + 7x - 8y = -22; \end{cases}$

2) $\begin{cases} (x^2 + y)^2 (x^2 - xy + y) = 4, \\ (x^2 + y)^2 (x^2 + xy + y) = 12; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y^2 + x + 1 = -y, \\ x^2 + y + 1 = -x; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^3 - 3x^2y + 3xy^2 = -1, \\ y^3 + y - x = 1. \end{cases}$

Решение.

1) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 2x^2 - 5xy + 3x - 2y = 2 \\ 5xy - 2x^2 + 7x - 8y = -22 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы. Обратим внимание, что члены $2x^2$ и $-2x^2$, а также $-5xy$ и $5xy$ взаимно уничтожатся:

$(2x^2 - 5xy + 3x - 2y) + (5xy - 2x^2 + 7x - 8y) = 2 + (-22)$

$10x - 10y = -20$

Разделим обе части полученного уравнения на 10:

$x - y = -2$

Из этого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = x + 2$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение исходной системы:

$2x^2 - 5x(x+2) + 3x - 2(x+2) = 2$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$2x^2 - 5x^2 - 10x + 3x - 2x - 4 = 2$

$-3x^2 - 9x - 4 = 2$

$-3x^2 - 9x - 6 = 0$

Разделим все члены уравнения на -3, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:

$x^2 + 3x + 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение равно 2. Корнями являются $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя формулу $y = x + 2$:

При $x_1 = -1$, получаем $y_1 = -1 + 2 = 1$.

При $x_2 = -2$, получаем $y_2 = -2 + 2 = 0$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(-1, 1), (-2, 0)$.

2) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} (x^2 + y)^2 (x^2 - xy + y) = 4 \\ (x^2 + y)^2 (x^2 + xy + y) = 12 \end{cases}$

Заметим, что множитель $(x^2 + y)^2$ присутствует в обоих уравнениях. Если $(x^2+y)^2=0$, то левые части уравнений равны 0, что противоречит правым частям (4 и 12). Следовательно, $(x^2+y)^2 \neq 0$.

Разделим второе уравнение на первое:

$\frac{(x^2 + y)^2 (x^2 + xy + y)}{(x^2 + y)^2 (x^2 - xy + y)} = \frac{12}{4}$

$\frac{x^2 + xy + y}{x^2 - xy + y} = 3$

Умножим обе части на знаменатель $x^2 - xy + y$ (предполагая, что он не равен нулю):

$x^2 + xy + y = 3(x^2 - xy + y)$

$x^2 + xy + y = 3x^2 - 3xy + 3y$

Перенесем все члены в одну сторону:

$2x^2 - 4xy + 2y = 0$

Разделим на 2:

$x^2 - 2xy + y = 0$

Выразим $y$ через $x$:

$y(1 - 2x) = -x^2$

Если $x=1/2$, то $-x^2=0$, что невозможно. Значит $x \neq 1/2$, и мы можем разделить на $1-2x$:

$y = \frac{-x^2}{1 - 2x} = \frac{x^2}{2x - 1}$

Теперь подставим это выражение в один из множителей исходной системы, например, в $x^2 + y$:

$x^2 + y = x^2 + \frac{x^2}{2x - 1} = \frac{x^2(2x - 1) + x^2}{2x - 1} = \frac{2x^3 - x^2 + x^2}{2x - 1} = \frac{2x^3}{2x - 1}$

Теперь подставим это же выражение в другой множитель $x^2 - xy + y$:

$x^2 - xy + y = (x^2+y) - xy = \frac{2x^3}{2x - 1} - x \cdot \frac{x^2}{2x-1} = \frac{2x^3 - x^3}{2x - 1} = \frac{x^3}{2x - 1}$

Подставим полученные выражения в первое уравнение системы:

$(\frac{2x^3}{2x - 1})^2 \cdot (\frac{x^3}{2x - 1}) = 4$

$\frac{4x^6}{(2x - 1)^2} \cdot \frac{x^3}{2x - 1} = 4$

$\frac{4x^9}{(2x - 1)^3} = 4$

$\frac{x^9}{(2x - 1)^3} = 1$

$(\frac{x^3}{2x - 1})^3 = 1$

Извлекая кубический корень, получаем:

$\frac{x^3}{2x - 1} = 1$

$x^3 = 2x - 1$

$x^3 - 2x + 1 = 0$

Заметим, что $x=1$ является корнем этого уравнения: $1^3 - 2(1) + 1 = 0$. Разделим многочлен $x^3 - 2x + 1$ на $(x-1)$:

$(x-1)(x^2+x-1) = 0$

Отсюда получаем три возможных значения для $x$:

1. $x-1 = 0 \implies x_1 = 1$.

2. $x^2+x-1 = 0$. Решаем квадратное уравнение: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Итак, $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_3 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$ по формуле $y = \frac{x^2}{2x-1}$:

Для $x_1 = 1$: $y_1 = \frac{1^2}{2(1)-1} = 1$.

Для $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$: так как $x_2^2+x_2-1=0$, то $x_2^2=1-x_2$.

$y_2 = \frac{1-x_2}{2x_2-1} = \frac{1 - \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}}{2(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2})-1} = \frac{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}{\sqrt{5}-2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2(\sqrt{5}-2)} = \frac{(3 - \sqrt{5})(\sqrt{5}+2)}{2(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{3\sqrt{5}+6-5-2\sqrt{5}}{2(5-4)} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Для $x_3 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$: так как $x_3^2+x_3-1=0$, то $x_3^2=1-x_3$.

$y_3 = \frac{1-x_3}{2x_3-1} = \frac{1 - \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}}{2(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2})-1} = \frac{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}{-\sqrt{5}-2} = -\frac{3 + \sqrt{5}}{2(\sqrt{5}+2)} = -\frac{(3 + \sqrt{5})(\sqrt{5}-2)}{2(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)} = -\frac{3\sqrt{5}-6+5-2\sqrt{5}}{2(5-4)} = -\frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $(1, 1), (\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}), (\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$.

3) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} y^2 + x + 1 = -y \\ x^2 + y + 1 = -x \end{cases}$

Перенесем все члены в левую часть в каждом уравнении:

$\begin{cases} y^2 + y + x + 1 = 0 \\ x^2 + x + y + 1 = 0 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(y^2 + y + x + 1) - (x^2 + x + y + 1) = 0 - 0$

$y^2 - x^2 = 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(y-x)(y+x) = 0$

Это уравнение выполняется в двух случаях:

Случай 1: $y - x = 0 \implies y = x$.

Подставим $y=x$ во второе уравнение исходной системы ($x^2 + y + 1 = -x$):

$x^2 + x + 1 = -x$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x+1)^2 = 0$

Отсюда $x = -1$. Так как $y=x$, то $y = -1$.

Получили решение $(-1, -1)$.

Случай 2: $y + x = 0 \implies y = -x$.

Подставим $y=-x$ во второе уравнение исходной системы ($x^2 + y + 1 = -x$):

$x^2 + (-x) + 1 = -x$

$x^2 - x + 1 = -x$

$x^2 + 1 = 0$

$x^2 = -1$

Это уравнение не имеет действительных решений.

Следовательно, система имеет единственное действительное решение.

Ответ: $(-1, -1)$.

4) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} x^3 - 3x^2y + 3xy^2 = -1 \\ y^3 + y - x = 1 \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение. Его левая часть похожа на часть формулы куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$. Добавим и вычтем $y^3$ в левой части:

$(x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) + y^3 = -1$

$(x-y)^3 + y^3 = -1$

Теперь рассмотрим второе уравнение. Из него можно выразить разность $x-y$:

$y^3 - 1 = x - y$

Подставим это выражение для $x-y$ в преобразованное первое уравнение:

$(y^3 - 1)^3 + y^3 = -1$

Сделаем замену переменной. Пусть $u = y^3$. Тогда уравнение примет вид:

$(u-1)^3 + u = -1$

Раскроем куб разности:

$u^3 - 3u^2 \cdot 1 + 3u \cdot 1^2 - 1^3 + u = -1$

$u^3 - 3u^2 + 3u - 1 + u = -1$

$u^3 - 3u^2 + 4u = 0$

Вынесем $u$ за скобки:

$u(u^2 - 3u + 4) = 0$

Это уравнение дает два варианта:

1. $u = 0$.

2. $u^2 - 3u + 4 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, единственное действительное решение для $u$ это $u=0$.

Вернемся к замене $u = y^3$:

$y^3 = 0 \implies y = 0$.

Теперь найдем $x$, подставив $y=0$ во второе уравнение исходной системы:

$0^3 + 0 - x = 1$

$-x = 1 \implies x = -1$.

Получили единственное решение системы.

Ответ: $(-1, 0)$.